关于集合序列递增极限$A_n\uparrow A$的含义确认

嘿，完全懂你啃Kallenberg这本《Foundations of Modern Probability》时卡壳的感觉！咱们来把集合序列的递增极限$A_n\uparrow A$的含义说清楚：

首先，$A_n\uparrow A$首先要求这个集合序列是递增的，也就是满足：

• $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \dots$
  每一个后续的集合都包含前面所有的集合，不会“倒退”。

而对应的极限集合$A$，最直接的定义就是这个递增序列的所有集合的并集，也就是：
A = ∪ₙ=1^∞ Aₙ

你提到的表达式$\bigcap_{m\geq n}\bigcup_{k\geq m} A_k$，其实是一般集合序列的上极限（lim sup），不过对于递增序列来说，它的上极限和下极限是完全相等的，最终都等于这个并集。原因很简单：因为序列是递增的，当$m$固定时，$\bigcup_{k\geq m}A_k$其实就是整个序列的并集$A$，再对所有$m\geq n$取交集，结果自然还是$A$。

举个直观的例子：假设$A_n$是区间$[0, 1-1/n]$，这个序列是递增的——每个区间都比前一个多覆盖一点接近1的部分，最终的极限$A$就是$[0,1]$，也就是所有$A_n$的并集，用你那个上极限公式计算，结果也完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zia badar