递推序列约束下二次和的全局最小值证明及推导问题

问题描述 #

给定如下递推序列：
$$
\begin{cases}
x_{n+1}(2\cos(\frac{\pi}{m})-x_n)=1,\forall n\geq 1\
x_1=x\in\mathbb R,m\in\mathbb N,m\geq 2
\end{cases}
$$
我们的目标是最小化二次和：
$$A=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^m (x_{k+1}-x_{k})^2$$

我的进展与当前疑问 #

我已经证明了$\frac{dA}{dx}|_{x=-1}=0$（相关推导见我的解答），现在需要解决两个核心问题：

• 如何证明$A_{\min}=A|_{x=-1}$是全局最小值？
• 如何证明对于每个$m$，$A$的最小值是唯一的（虽然有$m$个不同的$x$取值能得到这个最小值，但它们对应的$A$值完全相同）？

原帖补充背景 #

$A$实际上是曲线$y=\frac{1}{2\cos(\frac{\pi}{m})-x}$和$y=x$之间的锯齿形闭环所围成的面积。我通过计算机模拟验证发现，对于任意$m$，$A$在$x=-1$处取得最小值，同时还有另外$m-1$个$x$值也能得到相同的最小$A$值。

当初我尝试证明必要条件$\frac{dA}{dx} |{x=-1}=0$时，经过一系列代数变换，得到了等价方程：
$$\sum{k=1}^m \left(x_k-2\cos\left(\frac{\pi}{m}\right)x_{k+1}^2+x_{k+1}3\right)\prod_{i=1}^k x_i^2|_{x=-1}=0$$

我能感觉到求和式里存在某种对称性——比如索引相加等于$m$的两项之和为0，最后一项本身也是0，但就是不知道该怎么处理求和式里的乘积项，当时卡在这里好久。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user953715