等腰直角三角形中BD平分∠ABC的证明求助

题目内容 #

已知$\Delta ABC$是等腰直角三角形，$AC = BC$，$\angle ACB = 90^\circ$。点D在AC上，E在BD的延长线上，且$AE \perp BE$，$AE = \frac{1}{2}BD$。求证：BD平分$\angle ABC$。

我的尝试过程 #

因为$AE = \frac{1}{2}BD$，我在BD上取了中点F，然后作FG（G在AB上）使得FG = AE。通过角度推导，我发现$\angle DGA$是直角。本来想证明$\Delta DCB \cong \Delta DGB$来推进，但卡在这一步了，有没有大佬能指点一下？

可行的证明思路 #

给你分享一个更顺畅的证明方法，不用纠结之前的全等：

• 延长AE，交BC的延长线于点H。
• 因为$AE \perp BE$，$\angle ACB = 90^\circ$，所以$\angle AED = \angle BCD = 90^\circ$，加上$\angle ADE = \angle BDC$（对顶角相等），可以推出$\angle EAD = \angle CBD$。
• 在$\Delta ACH$和$\Delta BCD$中：
  • $\angle ACH = \angle BCD = 90^\circ$
  • $AC = BC$（题目已知的等腰直角三角形条件）
  • $\angle CAH = \angle CBD$（刚才推导的角相等）
    所以$\Delta ACH \cong \Delta BCD$（ASA全等判定），因此$AH = BD$。
• 结合题目里的$AE = \frac{1}{2}BD$，就能得到$AE = \frac{1}{2}AH$，也就是E是AH的中点。
• 又因为$BE \perp AH$，所以BE是AH的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，$AB = BH$，$\Delta ABH$是等腰三角形。
• 最后根据等腰三角形三线合一的性质，BE作为底边AH的高，同时也是顶角$\angle ABH$的角平分线，也就是BD平分$\angle ABC$，完美得证！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ADIMATHX