关于正则映射$f:\mathbb{P}^1\rightarrow\mathbb{A}^n$为常值的论证正确性验证

嘿，我来帮你确认这个论证的正确性，先聚焦到你提到的$f:\mathbb{P}^{1\rightarrow\mathbb{A}}1$的核心情况（推广到$\mathbb{A}^n$只需要对每个分量做同样分析就行）：

你的论证整体是完全成立的，我把细节拆解得更清晰些：

1. 首先明确背景：基域是$\mathbb{C}$（代数闭域，这是后续推导的关键前提）。对于正则映射$f:\mathbb{P}^{1\rightarrow\mathbb{A}}1$，根据射影空间正则映射的定义，它确实可以表示为同次齐次多项式的比值：$f=\frac{P}{Q}$，其中$P,Q\in\mathbb{C}[x_0,x_1]$是同次齐次多项式，且$Q$在$\mathbb{P}^{1$的所有点上都不为零（因为$f$是全局正则的，定义域覆盖整个$\mathbb{P}}1$）。

2. 接下来用到代数基本定理：$\mathbb{C}$上的非零多项式如果没有根，次数必然为0。这里$Q$是齐次多项式，若它次数大于0，根据代数基本定理，对应的仿射多项式（比如固定$x_0=1$得到$Q(1,x_1)\in\mathbb{C}[x_1]$）必有根，对应到射影空间就是$\mathbb{P}^{1$上的零点，这和$Q$在$\mathbb{P}}1$上无零点矛盾。所以$Q$只能是零次齐次多项式，也就是非零常数$c\in\mathbb{C}^*$。

3. 现在$f$简化为$\frac{P}{c}$，这里要注意射影空间的点是等价类$[tx_0:tx_1]$（$t\in\mathbb{C}^{*$），映射$f$必须良定义，即$f([tx_0:tx_1])=f([x_0:x_1])$对所有$t$成立。如果$P$是次数$d>0$的齐次多项式，那么$P(tx_0,tx_1)=t}dP(x_0,x_1)$，这样$f([tx_0:tx_1])=\frac{t^{dP(x_0,x_1)}{c}$，这显然无法等于$\frac{P(x_0,x_1)}{c}$对所有$t\in\mathbb{C}}*$成立（比如取$t=2$，$2^d≠1$）。因此$P$也必须是零次齐次多项式，也就是常数。

综上，$f$就是两个常数的比值，属于常值映射，完美证明了结论。推广到$f:\mathbb{P}^{1\rightarrow\mathbb{A}}n$时，只需对每个分量$f_i:\mathbb{P}^{1\rightarrow\mathbb{A}}1$重复上述论证，每个分量都是常数，整个映射自然是常值的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者A.D.