在不含选择公理（AF）的ZF集合论（ZF-AF）中，∀x (⋂ {z:z∉x} = ∅）是否成立？

嘿，这个问题问得挺有深度的！先给你个明确结论：在ZF-AF里，这个命题不一定成立——也就是说，存在ZF-AF的模型，能找到某个集合x，使得$\bigcap {z:z\notin x} \neq \emptyset$。

先帮你捋清楚核心概念：$\bigcap {z:z\notin x}$的定义是「所有属于每一个不属于x的集合z的元素」，也就是某个元素y如果在这个交集中，意味着只要集合z不在x里，y就一定在z中。

先说说为什么加了AF（选择公理）之后命题成立：假设AF成立，要是这个交集非空，取其中一个元素y。那我们来构造矛盾：考虑空集$\emptyset$——如果$\emptyset \notin x$，那y必须属于$\emptyset$，这显然不可能，所以$\emptyset$一定在x里。再看集合${y}$：如果${y} \notin x$，那y属于${y}$，这没问题，但要是${y} \in x$，我们再看集合${ \emptyset }$，它要是不在x里，那y就得属于${ \emptyset }$，也就是y=∅，但∅已经在x里了，那再看集合${1}$（比如1是${\emptyset}$），它要是不在x里，∅肯定不属于${1}$，这就和y=∅属于这个集合矛盾了。绕一圈下来，AF下根本找不到这样的y，所以交集只能是空集。

那回到ZF-AF的情况，为什么能不成立呢？其实我们可以构造一个特殊的ZF-AF模型：假设存在某个固定元素y，让宇宙里的所有集合要么属于x，要么都包含y。这种结构在没有选择公理约束的情况下是能存在的——选择公理一般会强制集合的“多样性”，但没有它的时候，我们可以允许这种“大部分集合都共享一个公共元素”的情况。这时候y就属于所有不属于x的集合，自然$\bigcap {z:z\notin x}$就包含y，不是空集了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Y.X.