求解当x→0⁺时( sin²x·log(x²) )/x →0的ε-δ证明中的δ

嘿，你的开头推导完全没问题！已经把原表达式的绝对值成功缩小到$2|x||\log x|$，这一步非常关键，接下来只需要搞定这个式子怎么小于任意给定的$\varepsilon > 0$就好啦。

首先我们回忆一个核心结论：当$x \to 0^+$时，$x|\log x| \to 0$。这意味着对于任意你给定的小正数$\frac{\varepsilon}{2}$，一定存在某个$\delta_1 > 0$，只要$0 < x < \delta_1$，就有$x|\log x| < \frac{\varepsilon}{2}$。

不过为了让逻辑更严谨，我们也可以不用直接搬结论，自己构造出δ：

• 先固定一个小范围，比如让$x < \frac{1}{e}$，这时候$\log x < -1$，$|\log x| = -\log x$，式子变成$x(-\log x)$。
• 观察函数$f(x)=x(-\log x)$，求导可得$f'(x)=-\log x -1$，当$x < \frac{1}{e}$时，$-\log x > 1$，所以$f'(x) > 0$，也就是说$f(x)$在$(0, \frac{1}{e})$上是严格递增的。这意味着只要找到一个$x_0$使得$f(x_0)=\frac{\varepsilon}{2}$，那么所有小于$x_0$的$x$都能满足$f(x) < \frac{\varepsilon}{2}$。

不管用哪种方式，最后我们只需要取$\delta = \min(\delta_1, \frac{1}{e})$（如果用极限结论的话），或者$\delta = \min(x_0, \frac{1}{e})$（如果构造$x_0$的话），这样当$0 < x < \delta$时：
$$2|x||\log x| < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
再结合你之前推导的不等式：
$$\left| \frac{\sin^2x \log(x^2)}{x} - 0 \right| \leq 2|x||\log x|$$
自然就有$\left| \frac{\sin^2x \log(x^2)}{x} - 0 \right| < \varepsilon$，完美完成ε-δ证明。

如果题目要求写出δ的具体表达式，我们还可以通过变量替换来构造：令$t=-\log x$，则$x=e^{-t}$，要让$x|\log x| < \frac{\varepsilon}{2}$即$te^{-t} < \frac{\varepsilon}{2}$。当$t \geq 1$时，$e^t > \frac{t^{2}{2}$（泰勒展开的结论），所以$te}{-t} < \frac{2}{t}$，令$\frac{2}{t} < \frac{\varepsilon}{2}$得$t > \frac{4}{\varepsilon}$，也就是$x < e^{-\frac{4}{\varepsilon}}$。这时候取$\delta = \min\left(e^{-\frac{4}{\varepsilon}}, \frac{1}{e}\right)$就可以啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Spink