高斯随机矩阵两类乘积形式的范数/迹大小差异及极值现象的技术问询

假设$A$是一个元素独立同分布（IID）的标准正态$d\times d$矩阵，我做了几组对比实验：

• 对比$f(AA^TAATAA^TAAT)$和$f(AAAAA^TATA^TAT)$的取值，其中$f$是三种标准Schatten范数（谱范数、Frobenius范数、迹），结果发现前者的取值始终更大。想请教这背后的原因是什么？
• 另外，我针对$d=2$的情况计算了$A$各种排列乘积的迹的期望值，发现上面提到的这两种形式恰好是极值（一个最大，一个最小）。有没有最直观的方式解释这个现象？

以下是我用来做实验的Mathematica代码：

getVal[d_, f_, sampler_] := (
    A = sampler[d];
    {Norm[
        A . A\[Transpose] . A . A\[Transpose] . A . A\[Transpose] . A . A\[Transpose]
    ],
    Norm[
        A . A . A . A . A\[Transpose] . A\[Transpose] . A\[Transpose] . A\[Transpose]
    ]}
);

dvals = Range[100, 200, 10];
funcs = {Norm[#, "Frobenius"] &, Norm, Tr};
sf = "Log";

dec[pairSeq_] := {{dvals, pairSeq[[All, 1]]}\[Transpose], {dvals, pairSeq[[All, 2]]}\[Transpose]};

f = Norm;

plotFunc[f_, fname_, sampler_] := (
    ListLinePlot[dec[getVal[#, f, sampler] & /@ dvals],
        PlotLabel -> fname, AxesLabel -> {"d", "value"},
        PlotLegends -> {"f(AA'AA'AA'AA')", "f(AAAAA'A'A'A')"},
        ScalingFunctions -> "Log"]
);

randNormal[d_] := RandomVariate[NormalDistribution[], {d, d}];
randUniform[d_] := RandomVariate[UniformDistribution[], {d, d}];
randBernoulli[d_] := N@RandomVariate[BernoulliDistribution[0.5], {d, d}];

sampler = randNormal;

TableForm[{{plotFunc[Norm, "f(A)=||A||", sampler],
            plotFunc[Tr, "f(A)=Tr(A)", sampler],
            plotFunc[Norm[#, "Frobenius"] &, "f(A)=||A||_F", sampler]}}\[Transpose]]

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yaroslav Bulatov