三维坐标系中平面(ABC)与平面(DEF)垂直的条件问询

嘿，这个问题其实核心是抓住平面垂直的几何本质——两个平面垂直当且仅当它们的法向量互相垂直，也就是法向量的点积等于0。下面一步步给你拆解具体的坐标条件：

• 第一步：计算平面ABC的法向量
  先导出平面ABC上的两个方向向量：

  • 向量 AB = (b₁ - a₁, b₂ - a₂, b₃ - a₃)
  • 向量 AC = (c₁ - a₁, c₂ - a₂, c₃ - a₃)
    平面ABC的法向量 n₁ 就是这两个向量的叉乘结果：

  n₁ = (
    (b₂ - a₂)(c₃ - a₃) - (b₃ - a₃)(c₂ - a₂),
    (b₃ - a₃)(c₁ - a₁) - (b₁ - a₁)(c₃ - a₃),
    (b₁ - a₁)(c₂ - a₂) - (b₂ - a₂)(c₁ - a₁)
  )
  

• 第二步：计算平面DEF的法向量
  同样先导出平面DEF上的两个方向向量：

  • 向量 DE = (e₁ - d₁, e₂ - d₂, e₃ - d₃)
  • 向量 DF = (f₁ - d₁, f₂ - d₂, f₃ - d₃)
    平面DEF的法向量 n₂ 是这两个向量的叉乘：

  n₂ = (
    (e₂ - d₂)(f₃ - d₃) - (e₃ - d₃)(f₂ - d₂),
    (e₃ - d₃)(f₁ - d₁) - (e₁ - d₁)(f₃ - d₃),
    (e₁ - d₁)(f₂ - d₂) - (e₂ - d₂)(f₁ - d₁)
  )
  

• 第三步：写出垂直的充要条件
  两个平面垂直等价于它们的法向量点积为0，也就是：

  n₁ · n₂ = 0
  

  把法向量的分量代入展开后，具体的坐标条件为：

  [(b₂-a₂)(c₃-a₃)-(b₃-a₃)(c₂-a₂)] * [(e₂-d₂)(f₃-d₃)-(e₃-d₃)(f₂-d₂)] + 
  [(b₃-a₃)(c₁-a₁)-(b₁-a₁)(c₃-a₃)] * [(e₃-d₃)(f₁-d₁)-(e₁-d₁)(f₃-d₃)] + 
  [(b₁-a₁)(c₂-a₂)-(b₂-a₂)(c₁-a₁)] * [(e₁-d₁)(f₂-d₂)-(e₂-d₂)(f₁-d₁)] = 0
  

简单来说，只要满足上面这个等式，平面ABC和平面DEF就垂直啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ale