平面约束下带系数二次表达式的最小值求解问询

嘿，这个问题其实可以从你已经熟悉的距离思路拓展，或者用通用的极值方法来解决，我给你拆解两种思路哈～

首先先明确你的问题：

在点$(a,b,c)$满足平面约束$4a + 3b + c = 7$的前提下，求表达式$2a^2 + b^2 + c^{2$的最小值。你已经知道无系数的$a}2+b^2+c2$最小值是原点到平面的垂直距离平方，但带系数的情况卡壳了，尝试拆分表达式也没找到方向。

方法一：拉格朗日乘数法（通用极值求解方法） #

这是处理带约束的多元函数极值的通用方法，步骤很清晰：

• 定义目标函数$f(a,b,c) = 2a^2 + b^2 + c^2$，约束条件$g(a,b,c) = 4a + 3b + c - 7 = 0$
• 根据拉格朗日乘数法，目标函数的梯度会和约束函数的梯度成比例，也就是：
  • 对$a$求偏导：$4a = 4\lambda$ → 简化得 $a = \lambda$
  • 对$b$求偏导：$2b = 3\lambda$ → 简化得 $b = \frac{3}{2}\lambda$
  • 对$c$求偏导：$2c = \lambda$ → 简化得 $c = \frac{1}{2}\lambda$
• 把这三个变量代入约束方程$4a + 3b + c =7$，计算$\lambda$的值：
  $$4\lambda + 3\times\frac{3}{2}\lambda + \frac{1}{2}\lambda =7$$
  合并同类项后得到$9\lambda=7$，即$\lambda=\frac{7}{9}$
• 把$\lambda$代回变量表达式，得到$a=\frac{7}{9}$，$b=\frac{7}{6}$，$c=\frac{7}{18}$
• 最后代入目标函数计算最小值：
  $$2\times\left(\frac{7}{9}\right)^2 + \left(\frac{7}{6}\right)^2 + \left(\frac{7}{18}\right)^2 = \frac{49}{18}$$

方法二：转化为你熟悉的“距离平方”问题 #

既然你已经知道无系数的平方和是原点到平面的距离平方，那我们可以通过变量替换把带系数的目标函数转化为标准平方和：

• 令$x = a\sqrt{2}$，那么$a = \frac{x}{\sqrt{2}}$，此时原目标函数$2a^2 +b^2 +c^{2$就变成了$x}2 +b^2 +c^2$（完美变成标准平方和）
• 把$a = \frac{x}{\sqrt{2}}$代入约束方程，得到新的平面约束：
  $$4\times\frac{x}{\sqrt{2}} +3b +c =7 \implies 2\sqrt{2}x +3b +c =7$$
• 现在问题就转化为：在平面$2\sqrt{2}x +3b +c =7$的约束下，求$x^2 +b^2 +c^2$的最小值——这就是你熟悉的原点到该平面的垂直距离的平方！
• 用平面到原点的距离公式计算：距离平方为$\frac{7^{2}{(2\sqrt{2})}2 +3^2 +1^2} = \frac{49}{8+9+1} = \frac{49}{18}$，和第一种方法结果完全一致。

其实这个带系数的二次型，本质是加权距离的问题，变量替换的思路能快速衔接你已有的知识，而拉格朗日乘数法是更通用的工具，适合各种约束下的极值问题～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shivansh Jaiswal