集合论函数基数相等性证明求助：已知|A|=|B|，如何证明|A^C|=|B^C|？

嗨，这个问题的核心思路其实很直接——咱们可以利用已知的A和B之间的双射，来构造出 ( A^C ) 到 ( B^C ) 的双射，具体步骤如下：

首先，回顾基数相等的定义：因为 ( |A| = |B| )，所以一定存在一个双射（既是单射又是满射的函数） ( f: A \to B )。双射的好处是它有可逆的逆函数 ( f^{-1}: B \to A )，这个性质咱们后面会用到。

接下来构造目标双射 ( h: A^C \to B^C )：
对于任意一个属于 ( A^C ) 的函数 ( g )（也就是 ( g: C \to A )），我们定义 ( h(g) ) 是这样一个从C到B的函数：

对每一个 ( c \in C )，( h(g)(c) = f(g(c)) )

简单说就是，把g在c点的输出，通过双射f映射到B中，以此得到h(g)在c点的输出。

现在需要证明这个h确实是双射，分两步走：

1. 证明h是单射：
   假设 ( h(g_1) = h(g_2) )，这意味着对所有 ( c \in C )，都有 ( f(g_1(c)) = f(g_2(c)) )。因为f是双射，所以它必然是单射（单射的定义是：如果f(x)=f(y)则x=y），因此可以推出 ( g_1(c) = g_2(c) ) 对所有c成立，也就是 ( g_1 = g_2 )。这就说明h是单射，不会把不同的函数映射成同一个函数。

2. 证明h是满射：
   任取一个属于 ( B^C ) 的函数 ( k )（也就是 ( k: C \to B )），我们需要找到一个 ( g \in A^C ) 使得 ( h(g) = k )。
   利用f的逆函数 ( f^{-1} )，定义 ( g(c) = f^{-1}(k(c)) )，这个g显然是从C到A的函数（因为 ( f^{-1} ) 把B中的元素映射到A中）。
   现在计算 ( h(g)(c) = f(g(c)) = f(f^{-1}(k(c))) = k(c) )，对所有 ( c \in C ) 都成立，所以 ( h(g) = k )。这说明h是满射，每个 ( B^C ) 中的函数都能被h“覆盖”到。

既然h既是单射又是满射，那它就是双射，而双射的存在就意味着 ( |A^C| = |B^C| )。

补充一句：这个逻辑其实很直观——A和B之间能完美一一对应，那把每个从C到A的函数，通过A和B的双射“转译”成从C到B的函数，这个转译过程自然也是完美的一一对应，不会有遗漏或者重复。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者natitati