关于黎曼曲率张量符号定义变更及度规符号差调整对里奇曲率、标量曲率与爱因斯坦张量的影响问询

嘿，这个问题真的戳中了微分几何和广义相对论里最容易让人头大的点之一——符号约定！很多教材在这些定义上确实有差异，我来给你理清楚：

一、黎曼曲率张量整体变号的情况 #

假设你碰到的教材把黎曼曲率张量的三个项全部取反（也就是定义成常见形式的相反数），那后续的曲率量变化很直接：

• 里奇曲率：里奇曲率是黎曼张量的收缩结果（比如$R_{ab}=R^c_{acb}$），每一项都跟着变号，收缩后里奇曲率整体也会变号，即$R'{ab}=-R{ab}$。
• 标量曲率：标量曲率是里奇曲率和度规的收缩$R=g^{ab}R_{ab}$，代入变号后的里奇曲率，显然标量曲率也会变号，$R'=-R$。
• 爱因斯坦张量：爱因斯坦张量的定义是$G_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R$，把变号后的里奇和标量曲率代入，会得到$G'{ab}=-(R{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R)=-G_{ab}$，也就是爱因斯坦张量同样整体变号。

二、度规从mostly plus切换到mostly minus的情况 #

度规符号的切换本质是$g_{ab} \to \tilde{g}{ab}=-g{ab}$，对应的逆变度规$g^{ab} \to \tilde{g}^{ab}=-g{ab}$，这部分的变化要分张量形式来看：

• 联络与混合形式黎曼张量：无挠联络$\Gamma^{a_{bc}$的定义里，度规的逆变和协变部分变号会相互抵消，所以联络保持不变；混合形式的黎曼张量$R}a_{bcd}$由联络的导数和乘积构成，自然也不会变。但协变形式的黎曼张量$\tilde{R}{abcd}=\tilde{g}{ae}R^e_{bcd}=-R_{abcd}$，会跟着变号。
• 里奇曲率：如果是混合形式的里奇曲率$R^{a_b$，因为是混合张量，收缩后保持不变；但协变形式的里奇曲率$\tilde{R}_{ab}=\tilde{g}_{ac}R}c_{bc}=-R_{ab}$，会变号。不过这种差异只是符号约定层面的，不会改变物理本质。
• 标量曲率：标量曲率是$\tilde{R}=\tilde{g}^{ab}\tilde{R}_{ab}$，代入变号后的度规和协变里奇曲率，两次变号会抵消，最终$\tilde{R}=R$，标量曲率保持不变。
• 爱因斯坦张量：协变形式的爱因斯坦张量会变号（$\tilde{G}{ab}=-G{ab}$），但混合形式的爱因斯坦张量则保持不变。同样，这只是符号调整，对应的爱因斯坦方程要么跟着变号，要么能动张量的符号也同步调整，物理现象不会有任何变化。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者darkside