非递减函数导数非负的证明合理性验证

你的证明思路非常扎实，逻辑完全通顺，我来帮你确认细节并解答你关于极限的疑惑：

首先，你精准地抓住了导数定义的核心——可导意味着左右极限存在且相等，于是拆分左右极限分别分析，这个切入点太对了：

左极限分析（$h \to 0^-$） #

当h从左侧趋近于0时，h是负数，而因为f是非递减函数，$a+h < a$，所以必然有$f(a+h) \le f(a)$，也就是分子$f(a+h)-f(a) \le 0$。非正数除以负数，结果是非负数，所以$\lim _{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \ge 0$，这部分推导毫无问题。

右极限分析（$h \to 0^+$） #

同理，h从右侧趋近于0时h是正数，$a+h > a$，所以$f(a+h) \ge f(a)$，分子$f(a+h)-f(a) \ge 0$。正数除以正数结果还是非负数，因此$\lim _{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \ge 0$，这部分也完全正确。

关于你疑惑的「h永远不会真正等于0」——你完全理解对了极限的本质！极限描述的是变量无限趋近某个值时的行为，而不是达到那个值。在导数的定义里，$h \to 0$的过程中h始终不等于0，所以分式$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$在整个极限过程中都是有意义的，根本不会出现分母为0的情况。

最后，题目已经明确f在$(a,b)$上可导，这就保证了区间内每一点的左右极限都存在且相等，等于该点的导数$f'$。既然左右极限都≥0，那导数$f' \ge 0$的结论自然成立，整个证明的逻辑闭环非常完整。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者haku tingo