关于满足特定函数方程的函数存在性的求证问询

问题描述 #

问题要求：判断是否存在函数 $f : (1, \infty)\rightarrow (1, \infty)$，使得对于所有 $x, y > 1$，都满足：
$$x^{f(y)x} = y^{f(x)y}$$

我的尝试过程 #

我先一步步做了这些尝试：

• 首先证明了这个函数是**单射（injective）**的；
• 接着我先后以 $x$ 为底、以 $y$ 为底对等式两边取对数，推导出了几个相关的等式；
• 之后我试着去“猜测”有没有符合条件的函数，但始终没找到合适的，所以我现在怀疑可能根本不存在这样的函数。

求助请求 #

不管是完整的证明，还是相关的思路提示，都对我很有帮助！非常感谢大家的解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Last X