关于满足a+b+c=1的正数a,b,c的不等式证明求助

问题描述 #

已知正实数 (a,b,c) 满足 (a+b+c=1)，求证：
$$a^2+b2+c^2 \geq ab(a+b+\sqrt{ab})+cb(c+b+\sqrt{cb})+ ac(a+c+\sqrt{ac} )$$

我的尝试思路 #

我先代入了一些 (a,b,c) 的具体值，发现只有当 (a=b=c=\frac{1}{3}) 时等号成立，这让我想到可以借助均值不等式来尝试证明，常用的均值链如下：
$$\min \leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b2}{2}} \leq \max$$

我原本计划先证明这样一个局部不等式：
$$\frac{a^2+b2}{2} \geq ab(a+b+\sqrt{ab})$$
毕竟我们已经由均值不等式知道：
$$\frac{a^2+b2}{2} \geq ab = ab(a+b+c)$$
但这里我卡住了——如果要从这个式子推到目标的局部不等式，就需要证明 (a+b+c \geq a+b+\sqrt{ab})，也就是 (c \geq \sqrt{ab})，但这显然不是对所有满足条件的正实数都成立的（比如当 (c) 取很小的值时就不成立），这条路走不通。

我想着是不是可以再用一次均值不等式来调整方向，但暂时没找到合适的切入点，希望能得到大家的帮助！谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IONELA BUCIU