希尔伯特空间中有界序列的弱极限是否有界？是否与原序列有相同界常数？

这个问题其实是希尔伯特空间弱收敛里的基础结论，我来一步步给你理清楚：

首先直接给结论：弱极限$f$一定是有界的，而且它的范数不超过原序列的界常数$C$（甚至可能严格小于$C$）。

证明过程 #

1. 先明确弱收敛的定义：序列$(f_n)$弱收敛到$f$，等价于对任意的$g\in H$，内积$\langle f_n, g\rangle$都收敛到$\langle f, g\rangle$。
2. 因为原序列有界，即$|f_n|\leq C$对所有$n$成立，根据柯西-施瓦茨不等式，对任意$g\in H$，有：
   $$|\langle f_n, g\rangle|\leq |f_n|\cdot|g|\leq C|g|$$
3. 当$n\to\infty$时，左边的极限是$|\langle f, g\rangle|$，而不等式右侧是固定的$C|g|$，因此对所有$g\in H$，都有：
   $$|\langle f, g\rangle|\leq C|g|$$
4. 利用希尔伯特空间中范数的刻画：$|f| = \sup\left{ |\langle f, g\rangle| \mid g\in H, |g|=1 \right}$。把$g$取为范数为1的向量，代入上面的不等式，就能直接得到：
   $$|f| \leq C$$

补充例子：范数严格小于$C$的情况 #

在平方可和序列空间$l^2$中，取$f_n$为第$n$个标准单位向量（即$f_n$的第$n$个分量为1，其余分量均为0），显然$|f_n|=1$，满足有界性（取$C=1$）。

这个序列弱收敛到0向量：对任意$g=(g_1,g_2,\dots)\in l^2$，内积$\langle f_n,g\rangle = g_n$，而由于$g$是平方可和序列，当$n\to\infty$时$g_n\to0$，因此$\langle f_n,g\rangle\to0=\langle 0,g\rangle$，即弱极限为0。此时弱极限的范数$|0|=0$，严格小于原序列的界$C=1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Physics user