Singer循环是否生成GLₙ(𝔽_q)中所有最高阶矩阵？

是的，所有$\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}q)$中阶为$q^{n-1$的矩阵都可以表示为某个Singer循环（即对应$\mathbb{F}_{q}n}$本原元$\alpha$的乘法变换$T\alpha$在某个基下的矩阵）。下面我会结合你提到的极小多项式思路，一步步解释原因，同时解决你关心的计数问题。

核心性质：最高阶矩阵的极小多项式 #

任何阶为$q^n-1$的矩阵$A$，它的极小多项式$m(x)$必然是$\mathbb{F}_q$上的$n$次本原多项式：

• 首先，$A$的阶是$q^{n-1$，说明$m(x)$整除$x}{q^{n-1}-1$，但不能整除任何$x}k-1$（$k < q^n-1$）。
• 这意味着$m(x)$的根都是$\mathbb{F}_{q^{n}$中的本原元（根的阶恰好是$q}n-1$），因此$m(x)$是本原多项式。

联系到Singer循环的构造 #

我们可以通过模结构把$A$和Singer循环对应起来：

• 将$V=\mathbb{F}_{q^{n}$看作$\mathbb{F}_q[x]$模，其中$x$的作用就是矩阵$A$的乘法。由于$m(x)$是$A$的极小多项式且不可约，这个模同构于$\mathbb{F}_q[x]/(m(x))$——而这个环恰好就是域$\mathbb{F}_{q}n}$（因为$m(x)$是$n$次不可约多项式）。
• 在这个同构下，矩阵$A$的作用对应$\mathbb{F}{q^n}$中的乘法操作：具体来说，$A$对应乘以元素$\alpha = x \mod m(x)$。因为$m(x)$是本原多项式，$\alpha$就是$\mathbb{F}{q^n}$的一个本原元。
• 只要取这个同构对应的$V$的基，$A$在该基下的矩阵就是你定义的$T_\alpha$（即乘法$\alpha$的线性变换矩阵）。

简单来说，换一个合适的基，任何最高阶矩阵都能转化为某个本原元对应的Singer循环形式。

关于最高阶矩阵的计数 #

如果你想计算$\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q)$中阶为$q^n-1$的矩阵总数，可以按以下步骤推导：

1. 单个Singer循环子群中的最高阶元素数：每个Singer循环是阶为$q^{n-1$的循环群，其中阶为$q}n-1$的元素个数是$\varphi(q^n-1)$（循环群中恰好有$\varphi(k)$个阶为$k$的生成元）。
2. GLₙ(𝔽_q)中Singer循环子群的个数：所有Singer循环子群在$\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q)$中是共轭的，它们的个数等于$\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q)$的阶除以Singer循环子群的正规化子的阶。Singer循环子群的正规化子大小是$n(q^n-1)$（Galois群的$n$个元素与Singer循环形成半直积）。
3. 总个数计算：把两部分结合起来，总个数为：

   \frac{|\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q)|}{n(q^n-1)} \times \varphi(q^n-1)
   

   其中$|\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}q)| = \prod{k=0}^{n-1}(qn - q^k)$，代入后可简化为：

   \varphi(q^n-1) \times \frac{1}{n} \times \prod_{k=1}^{n-1}(q^n - q^k)
   

补充一点：如果固定$V$的一个基，不是所有最高阶矩阵都等于某个$T_\alpha$在该基下的矩阵，但它们都共轭于这样的矩阵——即存在可逆矩阵$P$，使得$PAP^{-1}$是某个$T_\alpha$在固定基下的矩阵。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Randall