证明函数φ(x)^p在ℝⁿ上的局部p次可积性及特定上确界有界性

嘿，我来帮你把这个问题的证明梳理清楚，先看看你已经完成的局部$p$次可积性证明，再补上第二个不等式的推导：

一、局部$p$次可积性的证明（你的思路整理） #

要证明$\varphi \in L^p_{\text{loc}}(\mathbb R^n)$，只需验证任意紧集$K \subset \mathbb R^n$上的积分$\int_K |\varphi(y)|^p dy$有限即可：

1. 任取紧集$K$，总能找到$R>0$使得$K \subset B(0,R)$，因此：
   $$\int_K |\varphi(y)|^p dy \leqslant \int_{B(0,R)} \sum_{k=2}^\infty \chi_{B_k}(y) dy$$

2. 分析$B_k$与$B(0,R)$的相交条件：两个球相交当且仅当球心距离小于半径之和，即$|2^k e_1 - 0| < R+1$，解这个不等式得$k < \log_2(R+1)$。

3. 分情况讨论：

   • 若$R <3$：此时$\log_2(R+1) <2$，所有$k \geqslant2$的$B_k$都与$B(0,R)$不相交，积分等于0，显然有限。
   • 若$R \geqslant3$：此时满足$2 \leqslant k < \log_2(R+1)$的$B_k$才会与$B(0,R)$相交，交换积分与求和（非负函数可用单调收敛定理）：
     $$\int_{B(0,R)} \sum_{k=2}^\infty \chi_{B_k}(y) dy = \sum_{k=2}^{\lfloor \log_2(R+1) \rfloor} |B(0,R) \cap B_k|$$
     每个交集的体积不超过$|B(0,R)|$，而求和的项数是有限的（$\lfloor \log_2(R+1) \rfloor -1$项），因此整个和是有限的。

综上，$\varphi \in L^p_{\text{loc}}(\mathbb R^n)$得证。

二、上确界有界性的证明 #

接下来证明对任意$0 < \lambda <n$，有$\sup_{x \in \mathbb R^n, r >0} r^{-\lambda}\int_{B(x,r)} |\varphi(y)|^p dy < \infty$，核心是分情况估计积分的上界：

首先，利用非负函数的单调收敛定理，交换积分与求和：
$$\int_{B(x,r)} |\varphi(y)|^p dy = \sum_{k=2}^\infty |B(x,r) \cap B_k|$$

我们分三种情况讨论：

情况1：$B(x,r)$与所有$B_k$不相交 #

此时求和式为0，显然$r^{-\lambda} \times 0 =0$，满足有界性。

情况2：$0 < r \leqslant1$ #

注意到$k \geqslant2$时，任意两个$B_k$的球心距离为$2^{k+1}-2k=2^k \geqslant4$，远大于$B(x,r)$的直径$2r \leqslant2$，因此$B(x,r)$最多只能与一个$B_k$相交。

此时积分的上界为$B(x,r)$的体积：
$$\int_{B(x,r)} |\varphi(y)|^p dy \leqslant |B(x,r)| = \omega_n r^n$$
其中$\omega_n$是$\mathbb R^n$中单位球的体积（常数）。

两边除以$r^\lambda$，得：
$$r^{-\lambda}\int_{B(x,r)} |\varphi(y)|^p dy \leqslant \omega_n r^{n-\lambda}$$
由于$0 < \lambda <n$，$n-\lambda>0$，当$r \leqslant1$时，$r^{n-\lambda} \leqslant1$，因此这个式子的上界为$\omega_n$，是有限的。

情况3：$r >1$ #

找出所有与$B(x,r)$相交的$B_k$，记为集合$K(x,r)$。对于每个$k \in K(x,r)$，球心距离满足$|x - 2^k e_1| < r+1$，因此$2^k$落在$x_1$轴上的区间$[x_1 - r -1, x_1 + r +1]$内（$x_1$是$x$的第一个分量）。

估计$K(x,r)$的元素个数：

• 区间长度为$2(r+1)$，而任意两个$2^k$的差至少为4（$k \geqslant2$），因此区间内的$2^k$最多有$O(\log r)$个（比如从$2^{2=4$到不超过$x_1+r+1$的最大$2}k$，个数最多是$\log_2(r+1)+C$，$C$为固定常数）。

每个$|B(x,r) \cap B_k| \leqslant |B_k|=\omega_n$，因此求和式的上界为：
$$\sum_{k \in K(x,r)} |B(x,r) \cap B_k| \leqslant C_1 \log r$$
其中$C_1$是与$x,r$无关的常数。

两边除以$r^\lambda$，得：
$$r^{-\lambda}\int_{B(x,r)} |\varphi(y)|^p dy \leqslant C_1 \frac{\log r}{r^\lambda}$$
由于$\lambda>0$，函数$\frac{\log r}{r^\lambda}$在$r>1$时连续且$\lim_{r \to \infty} \frac{\log r}{r^\lambda}=0$，因此它在$r>1$时有有限最大值$M$，上界为$C_1 M$，是有限的。

综合所有情况 #

取三种情况的上确界，可得：
$$\sup_{x \in \mathbb R^n, r > 0} r^{-\lambda}\int_{B(x,r)} |\varphi(y)|^p , dy \leqslant \max(\omega_n, C_1 M) < \infty$$
至此，第二个性质得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Temirbek Alikhadzhiyev