如何证明目标点位于Zonotope内部？

嘿，我太懂你不想硬套凸组合公式的心情了——zonotope本身自带非常规整的几何结构，用它的Minkowski和性质来证，思路会清爽很多！

先理清楚你的场景：你说这个zonotope所有看起来平行的边都确实平行且等长，而红点的特征是可以通过三个完全相同的向量从不同位置（应该是zonotope的顶点或边点）到达它。那我们可以这么来证：

核心思路：拆分Minkowski和 + 内部点性质 #

zonotope本质是一组线段的Minkowski和——简单说就是把每个线段的所有点两两相加得到的集合。我们可以把这个zonotope拆成两部分：

• 第一部分 $Z_u$：由所有和那个“相同加粗向量”$u$平行的线段生成的子zonotope。因为你有三条等长的$u$方向边，所以这部分其实就是一条从$0$到$3u$的线段（三个长度为$u$的线段做Minkowski和，结果就是长度为$3u$的线段）。
• 第二部分 $Z_{rest}$：由所有不平行于$u$的线段生成的子zonotope。

整个大zonotope就是这两部分的Minkowski和：$Z = Z_u + Z_{rest}$。

现在看你的红点：它可以写成 $p = q + u$，其中$q$是$Z_{rest}$里的某个点（毕竟你是从zonotope里的某个点加上$u$得到的红点）。

接下来看两个关键性质：

1. $u$是$Z_u$的内部点：因为$Z_u$是线段$[0, 3u]$，$u$严格落在0和3u之间，不是端点，所以是内部点。
2. 对于凸集的Minkowski和，只要其中一个点是某个子凸集的内部点，另一个点是另一个子凸集的任意点，它们的和就是整个Minkowski和的内部点。

把这两点结合起来，$p = q + u$就必然是$Z$的内部点，完美避开了暴力拆解凸组合的麻烦！

补充说明 #

如果你的zonotope是更高维的，这个思路同样管用——只需要把目标向量方向的子zonotope单独拆分，剩下的所有方向合并成另一部分，再套用上面的内部点性质就行。而且因为你已经明确所有平行边等长，子zonotope的形态（比如线段长度）可以直接确定，不用额外计算。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ypbor