有限维向量空间对偶空间中三个集合相等性的证明求助

问题描述 #

假设$V$是有限维向量空间，$\phi_1, \cdots, \phi_m \in V'$（$V'$为$V$的对偶空间），需要证明以下三个集合彼此相等：

• (a) $A = \text{span}(\phi_1, \cdots, \phi_m)$
• (b) $B = \left(\bigcap_{i=1}^m \text{null}(\phi_i)\right)^0$（上标$0$代表零化子）
• (c) $C = {\phi \in V' ∶ \bigcap_{i=1}^m \text{null}(\phi_i) \subseteq \text{null}(\phi)}$

我的尝试 #

我已经完成了$A \subset B$的证明，过程如下：
如果$\phi \in \text{span}(\phi_1, \cdots, \phi_m)$，那么存在系数$c_i$，使得对任意$x \in V$都有$\phi(x) = \sum_{i=1}^m c_i \phi_i (x)$。任取$x \in \bigcap_{i=1}^m \text{null}(\phi_i)$，也就是对所有$1 \le i \le m$都满足$\phi_i(x) = 0$，代入上式可得$\phi(x) = 0$，这说明$\phi$是$\bigcap_{i=1}^m \text{null}(\phi_i)$的零化子，因此$\phi \in B$，由此证得$A \subset B$。

接下来我想证明$B \subset A$，也就是要说明若$\phi \in B$，则$\phi$可以表示成$\phi_1,\cdots,\phi_m$的线性组合，但这里我卡住了。我原本的思路是取$\bigcap_{i=1}^m \text{null}(\phi_i)$的一组基$v_1 , \cdots , v_k$，尝试构造$\phi_i$的线性组合让它在这组基上和$\phi$一致，但不知道怎么把这个一致性扩展到整个$V$的基上，实在不知道该怎么往下推进了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tejas Anand