寻求看似自然变换但不满足交换性的实际研究实例
我完全懂你的感受——在Top、Grp、Ring这些具体范畴里泡久了，确实容易产生一种错觉：只要是对每个对象$c \in C$定义了态射$\eta_c: Fc \to Gc$，那它大概率就是自然变换，犯不着每次都去验证交换方。但实际上，有不少看起来“顺理成章”的态射族，偏偏就卡在交换性这一关，给你举几个实际学习研究里常见的反例：
Set范畴里的补集单点映射
设F和G都是Set范畴上的恒等函子，对每个集合S，定义$\eta_S: S \to P(S)$（P是幂集函子）为$\eta_S(s) = S \setminus {s}$——这个映射看起来非常“对称自然”，对吧？但它不是自然变换。
比如取包含映射$f: S \subset T$，$s \in S$，左边是$f \circ \eta_S(s) = f(S \setminus {s}) = S \setminus {s}$，右边是$\eta_T \circ f(s) = T \setminus {s}$，显然这两个集合不相等（除非$S=T$），直接打破了交换方的要求。Grp范畴里的分群态射族
设F和G都是$\text{Grp} \to \text{Grp}$的恒等函子，对每个群G定义：如果G是交换群，$\eta_G(g) = g$；如果G是非交换群，$\eta_G(g) = e$（G的单位元）
这个定义看起来是“根据群的性质自然划分”的，但它不是自然变换。
比如取$f: S_3 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$是符号同态（把$S_3$的奇置换映到1，偶置换映到0），取$S_3$里的非单位元$g=(1\ 2)$，左边$f \circ \eta_G(g) = f(e) = 0$，右边$\eta_H \circ f(g) = \eta_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}(1) = 1$，两边明显不相等，交换方不成立。Top范畴里的固定点族映射
设F和G都是$\text{Top} \to \text{Top}$的恒等函子，对每个拓扑空间X，选一个“特殊点”$x_X$（比如欧氏空间子集选原点，流形选某个预设点），定义$\eta_X: X \to X$为$\eta_X(x) = x_X$对所有$x \in X$。
这个映射族看起来是“自然选取特殊点”的操作，但它不是自然变换。比如取$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$是平移映射$f(x)=x+1$，左边$f \circ \eta_{\mathbb{R}}(x) = f(0) = 1$，右边$\eta_{\mathbb{R}} \circ f(x) = \eta_{\mathbb{R}}(x+1) = 0$，$1 \neq 0$，交换方直接失效。光滑流形范畴里的非自然光滑化算子
设F、G都是光滑流形范畴$\text{Man} \to \text{Ab}$的函子，$F(X)=C0(X,\mathbb{R})$（X上的实值连续函数加法群），$G(X)=C1(X,\mathbb{R})$（X上的连续可微函数加法群）。对每个X，定义$\eta_X: C^0(X,\mathbb{R}) \to C^1(X,\mathbb{R})$为用固定光滑核做卷积的光滑化算子——这个操作看起来是“自然的光滑化”，但它不是自然变换。
因为对于光滑映射$f: X \to Y$，拉回映射$f^: C^0(Y,\mathbb{R}) \to C^0(X,\mathbb{R})$和光滑化算子$\eta$的顺序不能交换：$\eta_Y \circ f^$ 和 $f^* \circ \eta_X$ 的结果不一样，卷积的局部结构依赖于原空间X，拉回后再光滑化，不等于先光滑化再拉回，交换方不成立。
这些例子都是看起来“符合直觉”但实际不满足自然变换条件的情况，也正是这些反例提醒我们：自然变换的核心是“函子之间的相容映射”，必须通过交换方验证才能确认，不能只看对象层面的定义。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fernando Chu
