关于化简函数$f(x)=\frac{\log^3 x}{1-x}$（$0<x<1$）的n阶导数的技术问询

各位好，我现在需要化简函数$f(x)=\frac{\log^3 x}{1-x}$（其中$0<x<1$）的n阶导数，目前我已经做了一些推导，想请大家帮忙看看能不能进一步简化这个结果：

我的推导步骤： #

1. 函数分解：
   我把$f(x)$拆成四个函数的乘积形式：$f(x)=u_1u_2u_3u_4$，其中$u_1=u_2=u_3=\log x$，$u_4=\frac{1}{1-x}$。

2. 应用莱布尼茨乘积法则：
   对于多个函数乘积的n阶导数，使用莱布尼茨法则得到：
   $$f^{(n)}(x)=\sum_{k_1+k_2+k_3+k_4=n} \binom{n}{k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}}u_1^{(k_{1})}u_2{(k_{2})}u_3^{(k_{3})}u_4{(k_{4})}$$
   这里的$\binom{n}{k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}}$是多项式系数，即$\frac{n!}{k_1!k_2!k_3!k_4!}$。

3. 代入各函数的n阶导数公式：
   已知各函数的k阶导数：

   • 对于$u_1,u_2,u_3$：$u_i^{{(k_i)}=\frac{(-1)}{k_i+1} (k_i-1)!}{x^{k_i}}$（$i=1,2,3$）
   • 对于$u_4$：$u_4^{{(k_4)}=\frac{k_4!}{(1-x)}{1+k_4}}$

4. 代入后化简：
   将这些导数代入莱布尼茨公式，经过整理后得到：
   $$f^{(n)}(x)=\sum_{k_1+k_2+k_3+k_4=n} \left(\frac{n!}{k_1!k_2!k_3!k_4!}\right)\frac{(-1)^{k_1+1} (k_1-1)!(-1)^{k_2+1} (k_2-1)!(-1)^{k_3+1} (k_3-1)!k_4!}{x^{k_1+k_2+k_3} (1-x)^{1+k_4}} $$

   进一步约去阶乘项后：
   $$f^{(n)}(x)=n!\sum_{k_1+k_2+k_3+k_4=n} \frac{(-1)^{k_1+k_2+k_3+1}}{k_1k_2k_3 x^{{k_1+k_2+k_3}(1-x)}{1+k_4}} $$

   最后调整指数形式，利用$k_1+k_2+k_3 = n - k_4$，将$(-1)^{{k_1+k_2+k_3}$转化为$(-1)}{n - k_4}$，整理后得到：
   $$f^{{(n)}(x)=\frac{n!(-1)}{n+1}}{x^n}\sum_{k_1+k_2+k_3+k_4=n} \frac{(-1)^{{k_4}}{k_1k_2k_3}\frac{x}{k_4}}{(1-x)^{1+k_4}} $$

目前我就推到这一步了，这个求和式看起来还是比较复杂，希望能得到大家的帮助，看看能不能把这个求和式进一步简化，或者有没有其他更简便的方法来推导这个n阶导数，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Max