关于二阶线性齐次微分方程解的唯一性的初等证明问询

各位好，我目前遇到一个关于二阶线性齐次微分方程解的唯一性问题，想请教大家有没有初等的证明思路：

设 $a,b,c \in \mathbb{R}$ 且 $a \neq 0$，考虑如下线性齐次微分方程：
$$(E) : ay''+by'+cy=0$$

有没有一种初等方法（即不借助柯西-利普希茨定理这类“重量级”结论），不用求解方程 $(E)$，就能证明：若给定初始条件 $y(t_0)=x_0$ 和 $y'(t_0)=z_0$，则对应的解是唯一的？换句话说，能不能用基础工具针对这个特定场景，证明柯西-利普希茨定理中唯一性部分的一个“简化版本”？

我目前想到的思路是这样的：假设 $y_1$ 和 $y_2$ 是方程的两个解，我已经能手动推导它们的朗斯基行列式
$$W(t) :=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \ y_1' & y_2' \end{vmatrix}$$
是微分方程 $W'=\frac{b}{a}W$ 的解，因此可得 $W(t)=\lambda e^{\frac{b}{a}t}$（其中 $\lambda \in \mathbb{R}$）。由此可以推出：朗斯基行列式要么恒等于0，要么始终不为0。特别是当 $y_1, y_2$ 满足相同的初始条件时，朗斯基行列式会恒为0，这意味着对任意 $t$，都存在一个标量 $\alpha(t)$，使得
$$\begin{pmatrix}y_1(t) \ y_1'(t) \end{pmatrix} = \alpha(t) \begin{pmatrix}y_2(t) \ y_2'(t) \end{pmatrix}$$
但我在这里卡住了，不知道怎么用简单的方法证明 $\alpha(t)$ 是一个常数函数。或许还有更简洁的思路来证明唯一性？

有没有大佬能给我一些启发？提前感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者antwomorfisme