关于指示函数等式$1_{\{\omega : X(\omega) \geqslant t\}}(\omega) = 1_{\{t: t\leqslant X(\omega)\}}(t)$的逻辑解释请求

嗨，我来给你掰扯清楚这个等式到底是怎么回事，其实核心就是换个角度看“满足条件的对象”，咱们一步步拆解：

• 先搞懂左边的指示函数$1_{{\omega : X(\omega) \geqslant t}}(\omega)$：
  这个函数的「输入」是样本点$\omega$，输出是1还是0，完全看$\omega$能不能满足$X(\omega) \geqslant t$这个条件。简单说就是：固定一个$t$，给我一个$\omega$，我就判断这个$\omega$对应的随机变量值是不是大于等于$t$，是就输出1，不是就输出0。

• 再看右边的指示函数$1_{{t: t\leqslant X(\omega)}}(t)$：
  这个函数的「输入」换成了$t$，输出逻辑变成了：固定住$\omega$，给我一个$t$，判断这个$t$是不是小于等于$\omega$对应的随机变量值，满足就输出1，不满足就输出0。

• 为啥这俩会相等？
  拿具体数值举例子就一目了然了：假设某个样本点$\omega_0$对应的$X(\omega_0)=5$，咱们固定$t=3$：
  左边代入$\omega_0$：判断$5\geqslant3$，成立，输出1；
  右边代入$t=3$：判断$3\leqslant5$，成立，输出1。
  再换个$t=6$试试：左边判断$5\geqslant6$不成立，输出0；右边判断$6\leqslant5$不成立，输出0。
  你看，不管$\omega$和$t$取啥值，这两个指示函数的输出结果完全一致——本质上就是把“$\omega$满足$X(\omega)\geqslant t$”和“$t$满足$t\leqslant X(\omega)$”这两个逻辑等价的条件，用指示函数的形式换了个观察对象写出来而已。

• 在$\mathbb{E}(X^{k+1})$的证明里为啥要用这个？
  通常这种转换是为了交换积分顺序（比如用Fubini定理），把对样本点$\omega$的积分转换成对$t$的积分，反过来也一样。这样就能把$X^{{k+1}$的期望表达式转化成更容易计算的形式，比如把$X}{k+1}$写成积分$\int_0^\infty (k+1)t^k 1_{{X\geqslant t}} dt$，这个等式就是完成转换的关键桥梁。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Trajan