关于步长为1的二维随机游走从半径r圆盘边界出发的返回概率求解问询

嘿各位，我最近在琢磨随机游走相关的问题，想到Polya在1921年证明的那个经典结论——二维格点游走回到原点的概率是1，然后自己衍生出了一个问题，找了一圈没找到相关参考，想来请教大家：

问题详情 #

考虑这样一个二维随机游走模型：

• 每一步的步长固定为1
• 每一步的行进方向θ服从区间[0, 2π)上的均匀分布
• 游走的起点位于一个半径为r的圆盘的边界上

我想知道的是：这个游走过程中，除了初始起点之外，有顶点落在圆盘内部或边界上的概率（也就是“最终回到圆盘”的概率），用r来表示的话是多少？

这里补充定义：我所说的“回到圆盘”，特指游走路径上出现除初始点之外的、位于圆盘内或边界上的顶点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dan