无限维线性空间上一般线性群GL(V)的中心判定问题

嘿，这个问题问得特别好——咱们对有限维空间里的情况烂熟于心：$\text{GL}(V)$的中心就是所有非零标量算子构成的子群。那到了无限维的情况，是不是还保持这个结论呢？答案是是的，不过咱们得把道理说清楚，避免被无限维的“特殊性”迷惑。

首先明确一下概念：$\text{GL}(V)$是$V$上所有可逆线性算子组成的群，它的中心指的是和每一个可逆算子都交换的那些算子（也就是满足$AT=TA$对所有$T\in\text{GL}(V)$成立的$A$）。

咱们分两步来理清楚：

• 非零标量算子肯定在中心里：这部分和有限维完全一致，任取非零标量$\lambda\in F^\times$（$F$是$V$的基域），算子$\lambda I$和任何线性算子$T$都天然交换，自然也和所有可逆算子交换，所以$\lambda I$必然属于$\text{GL}(V)$的中心。
• 中心里的算子只能是非零标量算子：假设$A\in Z(\text{GL}(V))$（$Z$表示群的中心），咱们来证明$A$一定是标量算子：
  1. 先取任意非零向量$v\in V$，假设$A(v)=\lambda v + w$，其中$w$和$v$线性无关。因为$V$是无限维的，咱们总能找到一个可逆算子$T$：让$T(v)=v$，$T(w)=v+w$（比如把$v,w$扩展成一组基，$T$只修改$w$对应的基元映射，其他基元不动，这个算子显然可逆）。
  2. 现在对比$AT(v)$和$TA(v)$：$AT(v)=A(v)=\lambda v + w$，而$TA(v)=T(\lambda v + w)=\lambda v + v + w$。因为$AT=TA$，所以$\lambda v + w = (\lambda+1)v + w$，这就推出$v=0$，矛盾！所以$w$必须是0，也就是说$A(v)=\lambda v$，$A$把$v$映射成自身的标量倍。
  3. 再取另一个非零向量$u\in V$，设$A(u)=\mu u$。无限维空间里任意两个非零向量都能通过可逆算子互相映射，比如找可逆算子$S$使得$S(v)=u$，那么$A(u)=A(S(v))=S(A(v))=S(\lambda v)=\lambda u$，这就说明$\lambda=\mu$。

这样一来，$A$对所有非零向量都是同一个非零标量$\lambda$的倍数，也就是$A=\lambda I$，完全符合标量算子的定义。

所以结论很明确：不管$V$是有限维还是无限维，$\text{GL}(V)$的中心都是由所有非零标量算子构成的子群。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Big Coconut