笛卡尔坐标系中共线点的齐次坐标叉积为何得到无穷远线？

嘿，这个问题其实是对齐次坐标里直线的表示有点混淆啦，我来给你掰扯清楚～

首先先明确几个关键概念，帮你理清逻辑：

• 齐次坐标里，点用$[x,y,w]$表示：当$w≠0$时，对应笛卡尔平面里的点$(x/w, y/w)$；当$w=0$时，这个点是无穷远点，代表一个方向（比如$[a,b,0]$就对应笛卡尔里的方向向量$(a,b)$）。
• 直线用$[l_1,l_2,l_3]$表示，对应的方程是$l_1x + l_2y + l_3w = 0$。对于笛卡尔里的普通点（也就是齐次形式$[x,y,1]$），这个方程就变成了我们熟悉的$l_1x + l_2y + l_3 = 0$。
• 两个点的叉积确实就是过这两个点的直线，这个结论没问题。

回到你的例子：
你取的两个笛卡尔点$(1,2)$和$(2,4)$，转成齐次坐标是$[1,2,1]$和$[2,4,1]$，叉积计算出来的$[-2,1,0]$完全正确，它就是这两个点所在直线的齐次表示。

那为什么你会觉得它是“无穷远线”呢？这里要区分两个容易混淆的概念：

1. 无穷远线是射影平面里的特殊直线，它的齐次表示是$[0,0,1]$，对应的方程是$w=0$——也就是说，所有无穷远点（$w=0$的点）都在这条线上。
2. 你的叉积结果$[-2,1,0]$是一条普通直线，只是它的$l_3=0$。这意味着什么？
   • 对笛卡尔平面里的点（$w=1$），它的方程是$-2x + y = 0$，也就是$y=2x$——这正是你原来两个点所在的直线，过笛卡尔原点$(0,0)$。
   • 在射影平面里，这条直线还经过一个无穷远点：把$w=0$代入线方程，得到$-2x + y =0$，也就是无穷远点$[1,2,0]$（对应方向$(1,2)$）满足这个方程，所以这条直线经过无穷远点，但它本身不是无穷远线。

那为什么这条直线的$l_3=0$？其实很简单：因为这条直线过笛卡尔原点$(0,0)$。把原点的齐次坐标$[0,0,1]$代入直线方程$l_1x + l_2y + l_3w=0$，会得到$l_3=0$——反过来，所有过原点的直线，它们的齐次表示里$l_3$都是0。

如果不信的话，你可以换两个不在过原点直线上的点试试，比如$(1,2)$和$(2,5)$，它们的齐次叉积是$[1,2,1]×[2,5,1] = (-3,1,1)$，对应的笛卡尔直线是$-3x + y +1=0$（也就是$y=3x-1$），这个$l_3=1≠0$，就不会有“无穷远线”的误解啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harish Sathishchandra