关于范数为1的自伴紧正算子幂序列收敛性的证明疑问

我最近在尝试解决这个问题：假设$T\geq 0$是范数为1的自伴紧算子，需要证明对所有$x\in H$，$\lim_{n \rightarrow \infty}T^nx$都存在。

我一开始用紧算子的谱理论来推导：

• 紧自伴算子有正交基${g_n}$，满足$Tg_n = \lambda_n g_n$，其中$\lambda_n$是算子的特征值
• 通过归纳法很容易得到$T^k g_n = \lambda_n^k g_n$
• 对于任意$x\in H$，可以展开成$x = \sum_{k=1}^\infty \langle x,g_k\rangle g_k$，进而得到$T^n x = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^n \langle x,g_k\rangle g_k$

接下来我想交换极限和求和，也就是$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^\infty \lambda_k^n \langle x,g_k\rangle g_k = \sum_{k=1}^\infty \lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_k^n \langle x,g_k\rangle g_k$，但这里发现一个问题：如果存在某个$k$使得$|\lambda_k|>1$，那$\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_k^n$就不存在。

可我意识到这里肯定哪里出错了——我还完全没用到$|T|=1$这个条件，而且如果直接得出$\lim_{n \rightarrow \infty} T^nx = 0$对所有$x\in H$成立的话，这个结果也太“平淡”了，显然不符合问题的意图。有没有大佬能帮我指出推导里的问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者voroshilov