关于利维坍缩Col(λ, κ)的κ-链条件证明的求助

我正在学习利维坍缩（Levy collapse）：

对于 ( S \subseteq \text{On} ) 且 ( \lambda ) 是正则基数，( \text{Col}(\lambda, S) ) 的定义如下：

Col(λ, S) = {p | p is a function ∧ |p| < λ ∧ dom(p) ⊆ S × λ
∧ ∀ <α, ξ > ∈ dom(p)(p(α, ξ ) = 0 ∨ p(α, ξ ) ∈ α)}

序关系定义为 ( p \leq q ) 当且仅当 ( p \supseteq q )。

我对Kanamori的《The Higher Infinite》中的引理10.17(c)有疑问：

如果 ( \kappa ) 是正则基数，( \kappa > \lambda )，且要么 ( \kappa ) 是不可达基数，要么 ( \lambda = \omega )，那么 ( \text{Col}(\lambda, \kappa) ) 满足κ-链条件（κ-c.c.）。

我知道应该应用∆-系统引理，但在写出严谨的证明时遇到了困难。有没有人能帮我整理出完整的证明过程？

提前感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者C_M