关于Titchmarsh《黎曼ζ函数理论》中两个渐近阶估计的求解疑问

最近在啃Titchmarsh的《黎曼ζ函数理论》时，碰到两个关于渐近阶估计的问题卡壳了，想请教怎么推导这两个结果：

问题1：求和到积分的阶估计及最终渐近阶推导 #

我卡在了从$O\left(\left(\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\sigma} e^{-\delta n}\right)^2\right) = O\left(\left(\int_{1}^{\infty} x^{-\sigma} e^{-\delta x} dx\right)^{2\right)$，最终得到$O(\delta}{2\sigma - 2})$的步骤上，想知道怎么估计这个积分或者有没有其他方法？

推导思路：变量替换+Gamma函数渐近性 #

我们可以通过变量替换把积分转化为Gamma函数相关的形式：
令$t = \delta x$，则$x = \frac{t}{\delta}$，$dx = \frac{dt}{\delta}$，代入积分得：
$$
\int_{1}^{\infty} x^{-\sigma} e^{-\delta x} dx = \int_{\delta}^{\infty} \left(\frac{t}{\delta}\right)^{-\sigma} e^{-t} \cdot \frac{dt}{\delta} = \delta^{\sigma - 1} \int_{\delta}^{\infty} t^{-\sigma} e^{-t} dt
$$
当$\delta \to 0^{+$时，积分$\int_{\delta}}{\infty} t^{-\sigma} e^{-t} dt$可以拆分为$\int_{0}^{\infty} t^{-\sigma} e^{-t} dt + O(\delta^{1 - \sigma})$，其中$\int_{0}^{\infty} t^{-\sigma} e^{-t} dt = \Gamma(1 - \sigma)$是Gamma函数，是一个常数。因此积分的平方为：
$$
\left(\delta^{\sigma - 1} (\Gamma(1 - \sigma) + O(\delta^{1 - \sigma}))\right)^2 = \delta^{2\sigma - 2} \left(\Gamma(1 - \sigma)^2 + O(\delta^{1 - \sigma})\right)
$$
忽略高阶小项后，就得到了$O(\delta^{2\sigma - 2})$的结果。

问题2：含对数项的求和与积分估计 #

第二个问题是从$O\left(\sum_{n=1}^{\infty} n^{1 - 2\sigma} e^{-\delta n} \sum_{r=1}^{n/2} \frac{1}{r}\right) = O\left(\sum_{n=1}^{\infty} n^{1 - 2\sigma} e^{-\delta n} \log n\right) = O\left(\int_{1}^{\infty} x^{1 - 2\sigma} e^{-\delta x} \log x dx\right)$，最终推导到$O(\delta^{2\sigma - 2} \log \frac{1}{\delta})$，同样想知道积分的估计方法？

推导思路：变量替换+拆分积分项 #

同样采用变量替换$t = \delta x$，则$x = \frac{t}{\delta}$，$dx = \frac{dt}{\delta}$，代入积分得：
$$
\int_{1}^{\infty} x^{1 - 2\sigma} e^{-\delta x} \log x dx = \int_{\delta}^{\infty} \left(\frac{t}{\delta}\right)^{1 - 2\sigma} e^{-t} \left(\log t - \log \delta\right) \cdot \frac{dt}{\delta} = \delta^{2\sigma - 2} \int_{\delta}^{\infty} t^{1 - 2\sigma} e^{-t} (\log t - \log \delta) dt
$$
将积分拆分为两部分：
$$
\delta^{2\sigma - 2} \left( \int_{\delta}^{\infty} t^{1 - 2\sigma} e^{-t} \log t dt - \log \delta \int_{\delta}^{\infty} t^{1 - 2\sigma} e^{-t} dt \right)
$$
当$\delta \to 0^+$时：

• 第一部分积分$\int_{\delta}^{\infty} t^{1 - 2\sigma} e^{-t} \log t dt = \int_{0}^{\infty} t^{1 - 2\sigma} e^{-t} \log t dt + O(\delta^{2 - 2\sigma})$，这是Gamma函数的导数$\Gamma'(2 - 2\sigma)$，是常数；
• 第二部分积分$\int_{\delta}^{\infty} t^{1 - 2\sigma} e^{-t} dt = \Gamma(2 - 2\sigma) + O(\delta^{2 - 2\sigma})$，同样是常数。

因此整体表达式可简化为：
$$
\delta^{2\sigma - 2} \left( C - \log \delta \cdot \Gamma(2 - 2\sigma) + O(\delta^{2 - 2\sigma}) + O(\delta^{2 - 2\sigma} \log \delta) \right)
$$
其中$C$是常数。这里主项是$\delta^{2\sigma - 2} \cdot (-\log \delta)$，而$\log \frac{1}{\delta} = -\log \delta$，所以最终得到$O(\delta^{2\sigma - 2} \log \frac{1}{\delta})$的结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ali