关于集合等式$A \cup (B \cap C) \not= (A \cup B) \cap C$证明有效性的疑问及助教反馈困惑

我目前正在上一门入门级的证明写作课程，最近遇到了一个集合证明的问题，实在搞不懂自己的证明到底哪里有问题，想请教大家的看法：

题目要求 #

证明或推翻以下命题：若$A$、$B$、$C$为集合，则$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C$。

我的证明思路及过程 #

证明：该命题不成立。假设存在某个元素$x \in A$，且$x \notin B$、$x \notin C$。那么$x$属于$A \cup (B \cap C)$，但不属于$(A \cup B) \cap C$。

助教的反馈及我的困惑 #

我的这个证明被打了错分，理由是“不合理”。我专门找助教要了进一步的解释，得到的回复是：

题目要求你证明，而不只是给出解释。你可以用具体的数字或集合来证明，比如取$A={1,2,3}$，$B={3,4}$，$C={2}$，这样的证明更详细，而不是只做解释。

我现在有点懵，我觉得自己的逻辑是通顺的，但又不确定是不是真的忽略了什么，实在理解不了助教的评判标准，希望能得到大家的外部反馈。谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wabberjockey