关于证明点X在△ABC外接圆上的几何问题咨询

问题描述 #

在$\triangle ABC$中，已知$\angle ABC=60^\circ$。设$AC$的垂直平分线与$\angle B$的角平分线交于点$X$，求证：$X$在$\triangle ABC$的外接圆上。

我的尝试 #

我试过用角度追踪的方法，但始终没法推出$\angle XBC = \angle XCB = 30^\circ$，卡在这里了。

证明思路（用同一法更顺畅） #

兄弟，角度追踪没问题，但换个思路用同一法会更清晰，我给你捋一遍：

1. 先作$\triangle ABC$的外接圆，让$\angle B$的角平分线与外接圆交于点$X'$（角平分线从$B$出发指向内部，延长后必然和外接圆相交于另一点）。
2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等：
   • $\angle ABX'$和$\angle ACX'$都对着弧$AX'$，而$BX'$是$\angle ABC$的角平分线，$\angle ABC=60^\circ$，所以$\angle ABX'=30^\circ$，因此$\angle ACX'=30^\circ$。
   • 同理，$\angle CBX'$和$\angle CAX'$都对着弧$CX'$，所以$\angle CAX'=\angle CBX'=30^\circ$。
3. 现在看$\triangle X'AC$，$\angle CAX'=\angle ACX'=30^\circ$，这是个等腰三角形，$X'A=X'C$。根据垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以$X'$在$AC$的垂直平分线上。
4. 题目里的$X$是$AC$垂直平分线和$\angle B$角平分线的交点，而$X'$同时满足这两个条件，所以$X'$和$X$是同一个点，自然$X$就在$\triangle ABC$的外接圆上了。

如果非要用角度追踪的话，也可以这么走：

• 因为$X$在$AC$垂直平分线上，所以$XA=XC$，$\angle XAC=\angle XCA$。
• 我们要证明四点共圆，只需证$\angle ABC + \angle AXC=180^\circ$（对角互补判定）。
• $\angle AXC=180^\circ-2\angle XAC$，如果$X$在圆上，$\angle XAC=\angle XBC=30^\circ$（同弧$XC$），那$\angle AXC=120^\circ$，加上$\angle ABC=60^{\circ$刚好凑成$180}\circ$。而$\angle XBC=30^\circ$是角平分线直接给出的，不用推导，你之前可能把方向搞错啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adhvik