关于“所有局部极小值点均为全局极小值点的函数是否必为凸函数”的技术问询

你直觉完全正确！这个命题的逆推（即“若函数的所有局部极小值点都是全局极小值点，则函数必为凸函数”）并不成立，我们可以通过具体的反例和严谨的推导来验证这一点。

先看你提到的直观例子：sin(x) #

你举的sin(x)就是个绝佳的反例：它的所有局部极小值点（比如x = 3π/2 + 2kπ，其中k为整数）对应的函数值都是-1，这正是sin(x)的全局最小值。但显然sin(x)不是凸函数——它在区间(0, π)上是凹函数，在(π, 2π)上是凸函数，整体不满足凸函数的定义。

再构造一个更简单的分段反例 #

我们可以手动定义一个非凸但满足“局部极小值全是全局极小值”的函数：

f(x) = 
    x²,          当 x ≤ 0 时
    0,           当 0 < x ≤ 1 时
    (x-1)²,      当 x > 1 时

这个函数的特点是：

• [0, 1]区间内的所有点都是局部极小值点，对应的函数值0是全局最小值；
• 但它不是凸函数：比如取x=-1，y=2，λ=0.5，计算可得：
  • f(λx + (1-λ)y) = f(0.5*(-1) + 0.5*2) = f(0.5) = 0
  • λf(x) + (1-λ)f(y) = 0.5*1 + 0.5*1 = 1
    显然0 < 1，不满足凸函数要求的f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)对所有λ∈[0,1]成立的条件。

如何形式化证明命题不成立？ #

要推翻“若P则Q”这类逻辑命题，最直接的方法就是找到反例：即存在一个函数满足条件P（所有局部极小值点都是全局极小值点），但不满足结论Q（函数是凸函数）。

上面的两个例子都完美符合这个要求：

1. sin(x)满足P，但不满足Q；
2. 构造的分段函数满足P，但不满足Q。

这就足以证明原命题的逆推不成立啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1222626