正半定算子的勾股型不等式推广问题咨询

大家好，我最近在琢磨一个经典实数不等式能不能推广到正半定算子的场景，想请教下各位的见解：

首先，对于正实数 $a,b\in\mathbb{R}_+$，我们有这个熟悉的不等式：
$$\sqrt{a^2+b2} \leq a+b.$$

那我就好奇了——这个结论能不能推广到算子层面呢？换句话说，给定同阶的正半定算子 $A,B$，是否成立如下的矩阵序不等式：
\begin{align}
\sqrt{A^2+B2} \leq A + B
\end{align}
这里的序关系是矩阵序，也就是 $Q\geq0$ 表示 $Q$ 是正半定矩阵。

我已经翻了不少关于算子单调性和凸性的笔记资料，里面有很多实用的结论，但还没找到能直接用来解答这个问题的方法。

另外补充个相关的小细节：存在正半定矩阵 $A,B$，使得 $AB+BA$ 是非正定的（也就是 $AB+BA$ 可以有负特征值），不知道这点会不会和我的问题有关联？

对了，顺便说下标题的由来：因为直角三角形的斜边长度是 $\sqrt{a^2+b2}$，而根据三角不等式有 $\sqrt{a^2+b2}\leq a+b$，所以我就用这个勾股相关的背景来命名问题了，不过不确定这个标题是不是够贴切～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Guarf