关于线性变换单射等价于核为零空间的证明疑问

我来帮你理清这个证明的逻辑，你困惑的点其实是没把单射的定义和核的定义结合起来看～

首先先明确几个关键定义，这是理解证明的核心：

• 单射（one-to-one）线性变换：对于线性变换$T: V \to W$，如果对任意$u, v \in V$，只要$T(u) = T(v)$，就一定有$u = v$。简单说就是“不同的输入不能映射到同一个输出”。
• 核（$N(T)$）：所有满足$T(x) = 0$的向量$x \in V$的集合，也就是$N(T) = { x \in V \mid T(x) = 0 }$。

现在看Friedberg教材里这段证明：

Suppose that $T$ is one-to-one and $x \in N(T)$. Then $T(x) = 0 = T(0 )$. Since $T$ is one-to-one, we have $x = 0$ . Hence $N(T) = {0 }$.

我们一步步拆解：

1. 首先取任意$x \in N(T)$——这是证明“核里只有0”的标准思路：先假设核里有个任意元素，然后证明它只能是0。
2. 根据核的定义，$T(x) = 0$；同时，线性变换有个基本性质：$T(0) = 0$（这个可以从线性变换的可加性推导：$T(0) = T(0+0) = T(0) + T(0)$，两边减去$T(0)$就得到$T(0)=0$），所以这里自然有$T(x) = 0 = T(0)$。
3. 现在用到单射的定义了：因为$T(x) = T(0)$，而$T$是单射，根据单射的规则，必须有$x = 0$。
4. 这就意味着，核里的任意元素$x$都只能是0，所以$N(T) = {0}$。

你疑惑的“$x$可以是任何东西，或者$x \in V$使得$T(x)=0$，为什么它是$x=0$”——其实这里的$x$不是任意的$V$中元素，而是已经限定在核$N(T)$里的元素，再加上$T$是单射的前提，就排除了“非零元素被映射到0”的可能：如果存在某个非零的$y \in V$使得$T(y)=0$，那$T(y)=T(0)$但$y≠0$，这就违反了单射的定义。所以核里只能有0这一个元素。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kshitij Kumar