请批评指正关于“若x>0，则存在正整数N∈ℤ⁺满足1/N < x < N”的证明

各位好，我梳理了这个命题的证明过程，欢迎大家提出批评和指正：

已知(x > 0)，我们要证明存在正整数(N \in \mathbb{Z}^+)，使得(\frac{1}{N} < x < N)。

证明步骤： #

1. 利用阿基米德性质，因为(x > 0)，所以存在正整数(M \in \mathbb{Z}^+)，使得(\frac{1}{x} < M)。
2. 再次应用阿基米德性质，同样因为(x > 0)，存在正整数(n \in \mathbb{Z}^+)，使得(x < n)。
3. 构造正整数(N = n + M)：
   • 由于(n)和(M)都是正整数，整数对加法封闭，因此(N)必然也是正整数，即(N \in \mathbb{Z}^+)。
4. 推导不等式关系：
   • 首先，因为(N = n + M)且(M > 0)，显然有(x < n < N)。
   • 其次，由(\frac{1}{x} < M < N)，由于所有数都是正数，取倒数后不等号方向反转，可得(\frac{1}{N} < \frac{1}{M} < x)。
5. 合并上述两个不等式：
   $$\frac{1}{N} < \frac{1}{M} < x < n < N$$
   去掉中间的过渡项，直接得到核心结论：
   $$\frac{1}{N} < x < N$$

综上，我们找到了满足条件的正整数(N)，命题得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Faith Alone