关于判断停时有限性的概率等式所涉定理的咨询

我最近在梳理布朗运动停时相关的概率等式时卡壳了，想请教一下下面这个等式背后用到的定理或者核心结论：

$$
P_x[\tau_r < \infty] = \lim_{R\to\infty}P_x[\tau_{r,R}=\tau_r]
$$

背景说明 #

这个等式是我重构Klenke《Probability Theory》（第3版）定理25.40部分证明时遇到的，相关符号定义如下：

• $\tau_s=\inf{t>0: W_t=s}$：布朗运动$W$首次到达点$s$的停时
• $\tau_{r,R}=\inf{t>0: W_t\notin G_{r,R}}$：布朗运动首次离开区间$G_{r,R}:=(r,R)$的停时
• 布朗运动从$x\in(r,R)$出发，其中$-\infty<r<0<R<\infty$

我的两个思路及疑问 #

我自己想到了两个可能的方向，但都有没理清的地方：

• 方向一：单调收敛定理（MCT）
  我试着把概率转化为指示函数的期望来分析：
  $$
  E_x[\mathcal{I}{{\tau_r<\infty}}]=E_x[\mathcal{I}{{\lim_{R\to\infty}\tau_{r,R}=\tau_r}}]=\lim_{R\to\infty}E_x[\mathcal{I}{{\tau{r,R}=\tau_r}}]
  $$
  但我搞不清楚这里对应的函数序列具体是什么，尤其是不知道怎么处理指示函数，把极限操作从集合里面“提取”出来。另外等式最左边和中间的相等关系，我也不确定该用什么结论来证明。

• 方向二：单调事件序列的概率连续性
  我定义事件$A_R:={\tau_{r,R}=\tau_r}$，猜想这是一个递增的事件序列，并且它的极限事件就是$A={\tau_r<\infty}$。如果这个猜想成立，就可以用概率测度对递增事件的连续性：$\lim_{R\to\infty}P_x(A_R)=P_x(\bigcup_{R}A_R)=P_x(A)$。但我现在不知道怎么严格证明$A_R$是递增的，也想确认这个思路本身是否正确。

如果需要补充更多上下文信息，请告诉我，非常感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Enrico