pq阶非阿贝尔群中心为平凡群的证明疑问求助

我现在碰到了这么一个问题：已知$p$和$q$都是素数，$G$是一个非阿贝尔群，且群的阶$|G|=pq$，需要证明这个群的中心$Z(G)$是平凡群，也就是$Z(G)={e}$。

我之前学过相关理论，比如假设$|Z(G)|=p$的话，商群$G/Z(G)$的阶就是$q$，而$q$是素数，所以这个商群是循环群，而循环群都是阿贝尔群。

但这里我有个想不通的地方：如果$|Z(G)|=p$，那按道理$|Z(G)| + |G\setminus Z(G)|$应该等于$|G|$，也就是$p+q$，可题目里明确说$G$有$pq$个元素，显然$pq$和$p+q$不相等啊。我肯定是哪里理解错了，但就是找不到问题所在，能不能帮我梳理一下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vlad Henegariu