关于Fulton《Intersection Theory》中Theorem 6.7(b)的疑问
嘿，这个问题我当初学相交理论的时候也卡了好一会儿，咱们一步步拆解开来捋清楚～
首先先把关键的映射和性质明确下来，避免混淆：
- 因为V不包含在X里，根据blow-up的基变换性质，V沿V∩X的blow-up $\tilde{V}$ 其实就是V和 $\tilde{Y}$ 在Y上的纤维积，也就是 $\tilde{V} = V \times_Y \tilde{Y}$。这个性质是核心，把两个blow-up直接联系起来了。
- blow-up态射 $f: \tilde{Y} \to Y$ 在开集 $U = Y \setminus X$ 上是同构（毕竟blow-up只修改X附近的结构），所以 $f^{-1}(U) \cong U$，对应的 $\tilde{V} \cap f^{-1}(U) \cong V \cap U$。
接下来看 $f^[V]$ 的构造：
$f$ 是局部完全相交（lci）态射，它的refined Gysin拉回 $f^$ 对于子簇cycle的作用，可以拆成开集上的同构拉回和闭集（例外除子 $\tilde{X}$）上的额外贡献两部分：
- 在开集 $\tilde{Y} \setminus \tilde{X}$ 上，$f$ 是同构，所以 $f^*[V]$ 限制在这个开集上就是 $[\tilde{V}]$ 的限制——毕竟这部分没有修改，拉回就是原cycle的对应开部分。
- 两者的差值 $f^[V] - [\tilde{V}]$ 必然是一个支撑在 $\tilde{X}$ 上的cycle（因为开集部分已经完全匹配了）。而支撑在 $\tilde{X}$ 上的cycle，根据push-forward同态 $j_: A_\bullet(\tilde{X}) \to A_\bullet(\tilde{Y})$ 的性质，一定可以写成 $j_*(\tilde{x})$ 的形式，其中 $\tilde{x}$ 是 $\tilde{X}$ 上的某个cycle。
那为什么 $\tilde{x}$ 支撑在 $\tilde{V} \cap \tilde{X}$ 呢？
因为 $f^*[V]$ 是 $[V]$ 的拉回，它和 $\tilde{X}$ 的交集正好对应 $V$ 和 $X$ 的交集的blow-up部分，也就是 $\tilde{V} \cap \tilde{X}$（这是 $\tilde{V}$ 的例外除子，对应 $V \cap X$ 在V中的blow-up）。所以 $\tilde{x}$ 只能在这个交集上有非零的cycle。
最后联系Fulton提到的“refined Gysin与flat拉回交换”：
其实这里用到的是lci态射的拉回和flat态射的拉回的交换性——我们可以把 $f$ 分解为光滑态射的拉回加闭嵌入的Gysin拉回，而光滑拉回（flat）作用在 $[V]$ 上就是纤维积 $\tilde{V}$ 的cycle，闭嵌入的Gysin拉回除了给出 $\tilde{V}$ 的cycle，还会额外产生例外除子上的push-forward项，这就是 $j_*(\tilde{x})$ 的来源。
如果拿局部坐标验证会更直观：比如Y是仿射空间，X由 $x_1=\dots=x_d=0$ 定义，$\tilde{Y}$ 有齐次坐标 $(x_1,\dots,x_n,t_1,\dots,t_d)$（$t_i = x_i/x_1$），V是Y中的子簇，不包含X，那么 $\tilde{V}$ 就是 $\tilde{Y}$ 中满足V的方程和齐次关系 $t_i x_j = t_j x_i$ 的子概型；$f^[V]$ 对应的拉回cycle，除了 $\tilde{V}$ 本身，剩下的部分就是在 $\tilde{X}$（$x_1=\dots=x_d=0$）上由齐次关系和V的方程定义的子概型，也就是 $\tilde{V} \cap \tilde{X}$，这部分正好是 $j_(\tilde{x})$ 对应的cycle。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user6
