微分方程解的导数在指定区间有界性的证明指导请求

问题描述 #

给定函数 $y:\left(\sqrt{\frac{2}{3}},\infty\right)\rightarrow \mathbb R$ 是初值问题：
$$(2x-y)y'+(2y-x)=0;\quad y(1)=3$$
的解，需要证明：

• (A) $y'$ 在区间 $\left(\sqrt{\frac{2}{3}},1\right)$ 上无界
• (B) $y'$ 在区间 $(1,\infty)$ 上有界

已完成工作 #

我已经解出了这个初值问题，解为 $y(x)=2x+\sqrt{3x^2-2}$

思路与困惑 #

由原方程 $(2x-y)y'+(2y-x)=0$，可以推导出导数表达式：
$$y'=\frac{x-2y}{2x-y}$$

我知道如果在区间 $\left(\sqrt{\frac{2}{3}},1\right)$ 内存在某个点使得分母 $2x-y=0$，那么 $y'$ 在这个区间上就是无界的，但我找不到这个区间内满足 $2x-y=0$ 的点，希望得到大家的指导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anwar