利用π-λ定理通过归纳法证明多个σ-代数独立性的困惑

你已经搞定了n=2的情况，接下来用归纳法推进其实是把前面的结论“打包”用起来就行，不用单独拆成单个σ-代数来处理。我给你梳理下思路：

首先归纳假设：假设对于任意k个满足条件的π系$\pi_1,...,\pi_k$，它们生成的σ代数$\sigma(\pi_1),...,\sigma(\pi_k)$是独立的，也就是对任意$A_i\in\sigma(\pi_i)$（$1\leq i\leq k$），都有$P(A_1\cap...\cap A_k)=P(A_1)\cdot...\cdot P(A_k)$。

接下来看n=k+1的情况，我们可以把前k个σ代数“合并”成一个整体来处理：

• 先定义一个新的π系$\Pi = {A_1\cap...\cap A_k \mid A_i\in\pi_i, 1\leq i\leq k}$，这个π系是闭交的（因为每个$\pi_i$都闭交，交集的交集还是交集）。
• 根据归纳假设，$\sigma(\Pi) = \sigma(\pi_1\cup...\cup\pi_k)$，而且对于任意$B\in\Pi$，$P(B) = P(A_1)\cdot...\cdot P(A_k)$（因为π系里的元素都是前k个π系元素的交集，满足独立条件）。

现在问题转化为证明$\sigma(\Pi)$和$\sigma(\pi_{k+1})$独立，这就回到了你已经熟练掌握的n=2的情况！

针对你卡住的n=3的例子，具体操作就是：

• 先把$\sigma(\pi_1)$和$\sigma(\pi_2)$的独立结论用起来，构造$\Pi = {U\cap V \mid U\in\pi_1, V\in\pi_2}$，这个π系是闭交的，它生成的σ代数就是$\sigma(\pi_1,\pi_2)$，而且对任意$B\in\Pi$，$P(B)=P(U)P(V)$（由n=2的独立结论）。
• 题目里给的条件是：对任意$U\in\pi_1, V\in\pi_2, C\in\pi_3$，都有$P(U\cap V\cap C)=P(U)P(V)P(C)=P(B)P(C)$（其中$B=U\cap V\in\Pi$）。这就说明π系$\Pi$和$\pi_3$满足n=2时的独立条件！
• 接下来用你n=2时的方法：对任意$B\in\sigma(\Pi)$，定义$G_B = {C\in\sigma(\pi_3) \mid P(B\cap C)=P(B)P(C)}$，证明$G_B$是λ系，而且因为$\pi_3\subset G_B$（由题目给的条件，对任意$C\in\pi_3$，$B\in\Pi$时成立，再结合π-λ定理推到$\sigma(\Pi)$里的所有B），所以$G_B=\sigma(\pi_3)$。
• 这就意味着对任意$U\in\sigma(\pi_1), V\in\sigma(\pi_2), C\in\sigma(\pi_3)$，$P(U\cap V\cap C)=P((U\cap V)\cap C)=P(U\cap V)P(C)=P(U)P(V)P(C)$，完美搞定n=3的情况！

其实核心就是把前n-1个σ代数的交集构成的π系作为一个整体，把n元独立转化为二元独立问题，而二元的情况你已经证明过了，这样归纳递推就顺理成章了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrew_Ren