关于复方程$bz + d\bar{z} = t$解的分类证明问询

Hey folks，我最近在啃Raghavan Narasimhan的《单变量复分析》，做到第261页的第11题时卡壳了。题目要求证明：对任意复数$b,d,t \in \mathbb{C}$，方程$bz + d\bar{z} = t$的解集要么是整个复平面，要么是一条直线，要么是单个点，要么是空集。

我已经梳理了一部分思路，但总觉得有些地方逻辑没理顺，尤其是Case 2里的子情况，想请大家帮忙看看我的尝试有没有问题，以及怎么把所有情况对应到题目要求的四类结果上。

我的尝试过程 #

Case 1：$|b|^2 \neq |d|^2$（即$b\bar{b} \neq d\bar{d}$） #

我构造了如下矩阵：
$$\begin{bmatrix} b & d \ \bar{d} & \bar{b} \ \end{bmatrix}$$
它的行列式是$b\bar{b} - d\bar{d} = |b|^2 - |d|^2 \neq 0$，所以矩阵可逆。对应的方程组：
$$\begin{bmatrix} b & d \ \bar{d} & \bar{b} \ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} z \ \bar{z}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t \ \bar{t}\end{bmatrix}$$
有唯一解，计算出来是：
$$z = \frac{\bar{b}t - d\bar{t}}{|b|^2 - |d|^2}$$
这时候解集就是单个点，这个应该没问题。

Case 2：$|b|^2 = |d|^2$ #

这时候分两种核心子情况讨论：

Case 2.a：$t = 0$

• 如果$b = 0$，那$|d| = |b| = 0$，也就是$d=0$，原方程变成$0=0$，所有复平面上的$z$都满足，解集就是整个复平面。
• 如果$b \neq 0$，那$|d| = |b| \neq 0$，再细分：
  • Case 2.a.i：$b = \bar{d}$，原方程转化为$bz + \bar{b}\bar{z} = 0$，也就是$\text{Re}(bz) = 0$。这时候解集是复平面上一条过原点的直线（比如当$b=1$时，就是虚轴）。
  • Case 2.a.ii：$b \neq \bar{d}$，这里我有点混乱了。比如我取$b=1$，$d=i$（满足$|b|=|d|$且$b≠\bar{d}$），代入方程得$z + i\bar{z}=0$，展开成实部虚部后得到$x+y=0$，也是一条直线？但我之前乱写的$z = t(\bar{b}-d)$完全不对，因为$t=0$啊。这里是不是所有满足方程的$z$都构成一条直线？

Case 2.b：$t \neq 0$

我发现一个性质：如果$z$是$bz + d\bar{z}=t$的解，$w$是齐次方程$bw + d\bar{w}=0$的解，那么$z+w$也是原方程的解（代入验证确实成立）。

• Case 2.b.1：$b = \bar{d}$，原方程变成$bz + \bar{b}\bar{z}=t$，也就是$\text{Re}(bz) = \frac{t}{2}$。如果$t$不是实数，左边是实数右边不是，自然没有解，解集是空集；如果$t$是实数，解集就是满足$\text{Re}(bz)=\frac{t}{2}$的所有$z$，也就是一条直线（相当于齐次解的直线平移了一段距离）。

我现在的困惑点：

1. 当$b=d=0$时，如果$t≠0$，方程变成$0=t≠0$，解集是空集，这个情况我之前没单独列出来，是不是要加到Case2里？
2. Case2.a.ii的解集到底是不是直线？有没有更一般的推导方式？
3. 怎么把所有情况完整对应到题目要求的四类结果（整个平面、直线、单点、空集）上，有没有更清晰的分类逻辑？

麻烦各位大佬指点一下，谢谢啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者swutang