求解带分段源项的一维热方程稳态解

看起来你已经找对了方向！稳态时温度不再随时间变化，把热方程转化为分段的二阶常微分方程是完全正确的，接下来只需要利用连续性条件和边界条件把系数确定下来就行，我一步步给你理清楚：

1. 明确分段的稳态方程 #

根据题目给出的分段源项$f(x)$，稳态方程$T''(x) + f(x) = 0$可以拆成两个区间的方程：

• 当$-1 < x < 0$时，$f(x) = -2$，代入得：$T''(x) = 2$
• 当$0 ≤ x < 1$时，$f(x) = 0$，代入得：$T''(x) = 0$

2. 分别积分两个区间的方程 #

对每个区间的二阶微分方程做两次不定积分：

• 左区间（$-1 < x < 0$）：
  第一次积分：$T'(x) = 2x + C_1$
  第二次积分：$T(x) = x^2 + C_1x + C_2$，其中$C_1, C_2$是待确定的常数
• 右区间（$0 ≤ x < 1$）：
  第一次积分：$T'(x) = D_1$
  第二次积分：$T(x) = D_1x + D_2$，其中$D_1, D_2$是待确定的常数

3. 应用边界条件与连续性条件 #

我们一共有4个条件来确定4个常数：

（1）边界条件

题目给出$T(-1) = 0$和$T(1) = 0$：

• 代入左区间表达式：$(-1)^2 + C_1 \cdot (-1) + C_2 = 0$，化简得：$1 - C_1 + C_2 = 0$ —— 方程(1)
• 代入右区间表达式：$D_1 \cdot 1 + D_2 = 0$，化简得：$D_1 + D_2 = 0$ —— 方程(2)

（2）连续性条件

在分段点$x=0$处，温度和热流密度必须连续（否则会出现无限大的热流，不符合稳态物理意义）：

• 温度连续：$T(0^-) = T(0^+)$，即左区间在$x=0$处的值等于右区间在$x=0$处的值，代入得：$C_2 = D_2$ —— 方程(3)
• 导数连续：$T'(0^-) = T'(0^+)$，即左区间在$x=0$处的导数值等于右区间在$x=0$处的导数值，代入得：$C_1 = D_1$ —— 方程(4)

4. 联立方程求解常数 #

把方程(3)和(4)代入方程(1)和(2)：

• 由方程(2)得：$C_1 + C_2 = 0$，即$C_2 = -C_1$
• 代入方程(1)：$1 - C_1 + (-C_1) = 0$，解得$C_1 = \frac{1}{2}$
• 进而得到$C_2 = -\frac{1}{2}$，$D_1 = \frac{1}{2}$，$D_2 = -\frac{1}{2}$

5. 写出最终的稳态解 #

把系数代回两个区间的表达式，得到分段的稳态温度分布：

• 当$-1 < x < 0$时：$T(x) = x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
• 当$0 ≤ x < 1$时：$T(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

你可以自己验证一下这个解是否满足所有条件：边界点$x=-1$和$x=1$处值为0，$x=0$处温度和导数都连续，同时代入稳态方程也完全符合。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者starry41