Ricci张量散度等式的无指标记号证明求助

我目前正在尝试用无指标记号证明以下结论：

$$\text{div}(\text{ric}) = \frac{1}{2} ds$$

这里用到的所有记号均采用爱因斯坦求和约定，具体定义如下：

• Ricci张量：$\text{ric}(X,Y) = g(R_{e_j X} Y, e_j)$（${e_j}$为切丛的一组标准正交基，$X,Y$为任意向量场）
• Ricci张量的散度：$\text{div}(\text{ric}) = (\nabla_{e_i} \text{ric})(e_i, X)$（$\nabla$为黎曼联络，$X$为任意向量场）
• 标量曲率：$s = \text{ric}(e_j, e_j)$

我已经尝试过利用黎曼联络关于收缩的相关性质来推导，但始终没能得到目标等式，有没有大佬能给点推导思路或者关键步骤的提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alessandro