关于Jech《集合论》习题2.3的证明困惑：寻求N为传递集的证明提示

嘿，我来给你几个实用的提示，帮你搞定$\textbf{N}$是传递集的证明～

首先回忆一下核心定义：

$\textbf{N}$是所有归纳集的交集，即$\textbf{N} = \bigcap{X:X\text{ 是归纳集}}$；而归纳集的定义是包含$\emptyset$，且对任意$x$属于它，$x$的后继$x \cup {x}$也属于它。

要证明$\textbf{N}$是传递集，我们需要证：如果$n \in \textbf{N}$且$m \in n$，那么$m \in \textbf{N}$。这里给你两个递进的思路：

思路1：利用最小归纳集的性质 #

构造集合$Y = {n \in \textbf{N} \mid n \subseteq \textbf{N}}$，我们的目标是证明$Y = \textbf{N}$。为什么？因为如果$Y$等于$\textbf{N}$，那就意味着每个$\textbf{N}$中的元素都是$\textbf{N}$的子集，这正好就是传递集的定义。

要证明$Y = \textbf{N}$，只需要证$Y$是一个归纳集——毕竟$\textbf{N}$是最小的归纳集，任何归纳集都包含$\textbf{N}$，而$Y$本身是$\textbf{N}$的子集，所以两者必然相等。那怎么证$Y$是归纳集？

• 第一步：验证$\emptyset \in Y$。显然$\emptyset \in \textbf{N}$，且$\emptyset$是任何集合的子集，所以$\emptyset \subseteq \textbf{N}$，自然$\emptyset \in Y$。
• 第二步：假设$n \in Y$（即$n \in \textbf{N}$且$n \subseteq \textbf{N}$），证明$n$的后继$n \cup {n} \in Y$。
  • 因为$\textbf{N}$是归纳集，所以$n \cup {n} \in \textbf{N}$是显然的；
  • 接下来看子集关系：$n$已经是$\textbf{N}$的子集，而$n$本身属于$\textbf{N}$，所以$n \cup {n}$的所有元素要么是$n$中的元素（都在$\textbf{N}$里），要么是$n$本身（也在$\textbf{N}$里），因此$n \cup {n} \subseteq \textbf{N}$。
  • 综上，$n \cup {n} \in Y$。

这样$Y$就是归纳集，于是$\textbf{N} \subseteq Y$，结合$Y \subseteq \textbf{N}$，就得到$Y = \textbf{N}$，也就证明了$\textbf{N}$是传递集。

思路2：从“每个归纳集都包含$m$”入手 #

因为$\textbf{N}$是所有归纳集的交集，所以要证$m \in \textbf{N}$，只需要证**$m$属于每一个归纳集$X$**。

已知$n \in \textbf{N}$，所以$n$属于每一个归纳集$X$。我们可以对$n$用归纳法（$\textbf{N}$是良序集，归纳法适用），证明对任意$n \in \textbf{N}$，$n$的所有元素都属于$\textbf{N}$：

• 基例：$n = \emptyset$，它没有元素，结论 vacuously true。
• 归纳步骤：假设对$n$成立（即所有$k \in n$都属于$\textbf{N}$），考虑$n \cup {n}$的元素——要么是$n$里的元素（根据归纳假设都在$\textbf{N}$里），要么是$n$本身（在$\textbf{N}$里），所以$n \cup {n}$的所有元素都在$\textbf{N}$里。

这样一步步归纳下去，就可以得到所有$\textbf{N}$中的元素的元素都在$\textbf{N}$里，也就是$\textbf{N}$是传递集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam