关于PM环示例的困惑：整数环与域上多项式环是否符合PM环定义？

你完全没搞错！AI给的这两个例子其实是错误的，你的观察非常准确——整数环ℤ和域上多项式环F[x]根本不是PM环。

先再明确一下PM环的定义：

Def. A ring R is called a pm ring if each prime ideal is contained in exactly one maximal ideal.

咱们来具体分析这两个环的问题：

• 对于整数环ℤ：它的素理想包括零理想(0)和所有由素数生成的主理想(p)（其中p是素数）。而(p)都是ℤ的极大理想，零理想(0)会包含在所有这些极大理想里（因为任何素数p都整除0），也就是无穷多个极大理想，这显然不符合“每个素理想恰含于一个极大理想”的要求。
• 对于域F上的多项式环F[x]：情况和ℤ几乎一样，它的素理想是零理想(0)和所有由不可约多项式生成的理想（这些都是极大理想）。零理想(0)同样包含在无穷多个这样的极大理想里，所以也不满足PM环的定义。

那哪些环才是真正的PM环呢？给你举几个简单的例子：

• 局部环：比如域F上的幂级数环F[[x]]，它只有一个极大理想(x)，所有素理想（只有(0)和(x)）都只能含于这个唯一的极大理想，完美符合PM环的条件。
• 每个素理想都是极大理想的环：比如有限域ℤ/pℤ（p是素数），它的素理想只有(0)，而(0)本身就是极大理想，自然满足要求；再比如有限个有限域的直积，每个素理想都是极大理想，且每个素理想只对应自己那个极大理想。
• 赋值环：比如有理数域ℚ上的p-adic整数环ℤ_p，它只有一个极大理想(pℤ_p)，所有素理想都含于这个极大理想，属于PM环。

所以你的疑问完全合理，是AI给出的例子出现了错误，不是你理解错了定义~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者1400