关于《Linear Algebra Done Right》中“算子在任意基下矩阵相同当且仅当为标量倍恒等算子”的正向证明困惑

我正在啃Axler《Linear Algebra Done Right》第4版3D章节的第19题，题目是这样的：

Suppose $V$ is finite-dimensional and $T \in \mathcal{L}(V)$. Prove that $T$ has the same matrix with respect to every basis of $V$ if and only if $T$ is a scalar multiple of the identity operator.

目前我已经搞定了反向方向的证明（也就是“若$T$是恒等算子的标量倍，则$T$在任意基下的矩阵都相同”），但正向方向（“若$T$在任意基下的矩阵都相同，则$T$是恒等算子的标量倍”）彻底卡壳了，想请教下大家有没有思路或者切入点？

我的正向证明尝试（卡壳点） #

假设$T$在任意基下的矩阵都相同，也就是说，对$V$的任意两个基$(v_1,\ldots,v_n)$和$(u_1,\ldots,u_n)$，$\mathcal{M}(T, (v_1,\ldots,v_n))$与$\mathcal{M}(T, (u_1,\ldots,u_n))$的每个$(j,k)$位置的元素都相等，我把这个共同的矩阵记作$A$。

根据线性算子矩阵的定义，这意味着：
$$Tv_k = A_{1,k}v_1 + \cdots + A_{n,k}v_n$$
$$Tu_k = A_{1,k}u_1 + \cdots + A_{n,k}u_n$$

我的目标是要推出$T = \alpha I$（即对任意$v \in V$，$Tv = \alpha v$），但试了各种代数变形都绕得一团糟，完全找不到突破口，感觉自己漏掉了某个关键的线性代数结论？

反向证明（已完成，欢迎指正） #

这里附上我已经完成的反向方向证明，也欢迎大家帮忙检查是否有疏漏：

要证：若$T$是恒等算子的标量倍，则$T$在任意基下的矩阵都相同。

设$\alpha \in \mathbf{F}$，$T = \alpha I$（其中$I$是$V$上的恒等算子），任取$V$的一个基$(v_1,\ldots,v_n)$。

根据算子矩阵的数乘性质：
$$\mathcal{M}(T, (v_1,\ldots,v_n)) = \mathcal{M}(\alpha I, (v_1,\ldots,v_n)) = \alpha\mathcal{M}(I, (v_1,\ldots,v_n))$$

而恒等算子在任意基下的矩阵都是单位矩阵，因此$\alpha$乘以单位矩阵后，得到的是对角元全为$\alpha$、其余元素全为0的对角矩阵。显然这个矩阵的形式和具体选择哪个基无关，因此$T$在任意基下的矩阵都相同。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Paul Ash