关于复可微函数逆函数的复可微性及相关函数、导数公式的技术问询

问题背景 #

已知设 $f: U \to \mathbb R^2$（其中 $U \subseteq \mathbb R^2$ 是开集），其逆函数 $g: V \to \mathbb C$ 连续，$V \subseteq \mathbb R^2$ 是开集且为 $f$ 的值域。取 $p \in V$，假设 $f'(g(p)) \neq 0$，且 $f$ 在 $U$ 中的点 $g(p)$ 处复可微（原问题存在笔误修正：$p$ 属于 $V$，不在 $U$ 内，$f$ 的复可微点应为其定义域 $U$ 内的 $g(p)$）。

需要证明：$g$ 在 $p$ 处复可微，且满足 $g'(p) = \frac{1}{f'(g(p))}$。

已知的复可微定义：

函数 $f: U \to \mathbb R^2$ 在 $U$ 中的点 $q$ 处复可微，当且仅当存在一个在 $q$ 处连续的函数 $S: U \to \mathbb R^2$，使得对所有 $z \in U$，有
$$f(z) = f(q) + S(z)(z - q)$$

用户的两个核心问题：

问题1 #

我知道我们要证明复可微函数的逆函数在点 $p$ 处复可微，但我想知道怎么找到对应逆函数 $g$ 的那个 $S$ 函数？是不是就是 $f(z)$ 对应的 $S$ 函数的倒数？

问题2 #

为什么 $f'$ 的自变量是 $g(p)$？还有怎么证明导数公式 $g'(p) = \frac{1}{f'(g(p))}$？

解答 #

先理清概念细节 #

首先解决你第二个问题里的第一个小疑问：$f'$ 是 $f$ 的导数，它的定义域是 $f$ 的定义域 $U$，而 $g(p)$ 是 $U$ 中的点（因为 $g$ 是 $f$ 的逆函数，$g(p)$ 就是 $U$ 中被 $f$ 映射到 $p$ 的点），所以 $f'(g(p))$ 是完全合理的，指的是 $f$ 在自己定义域内的点 $g(p)$ 处的导数。

导数公式证明 + 逆函数的$S$函数构造 #

我们直接从复可微的定义出发推导：

已知 $f$ 在 $q = g(p)$ 处复可微，根据定义，存在在 $q$ 处连续的函数 $S_f: U \to \mathbb R^2$，使得对所有 $z \in U$：
$$f(z) = f(q) + S_f(z)(z - q)$$
因为 $f(q)=f(g(p))=p$，可以改写为：
$$f(z) - p = S_f(z)(z - g(p))$$

由于 $g$ 是 $f$ 的逆函数，对任意 $w \in V$，都有 $z = g(w)$，代入上式得：
$$w - p = S_f(g(w))(g(w) - g(p))$$

我们的目标是把这个式子转化为符合复可微定义的形式：$g(w) = g(p) + S_g(w)(w - p)$，其中 $S_g$ 在 $p$ 处连续。

首先，因为 $f'(q) \neq 0$，而根据复可微定义，$f'(q) = S_f(q)$（$S_f$ 在 $q$ 处连续，当 $z \to q$ 时，$S_f(z) \to S_f(q)=f'(q)$），所以 $S_f(q) \neq 0$。又因为 $g$ 连续，当 $w \to p$ 时，$g(w) \to g(p)=q$，结合 $S_f$ 在 $q$ 处的连续性，我们可以找到 $p$ 的一个开邻域 $W \subseteq V$，使得对所有 $w \in W$，$S_f(g(w))$ 都是可逆的（连续函数在非零点附近会保持非零/可逆性）。

对 $w \in W$，我们把式子两边左乘 $S_f(g(w))^{-1}$（复平面上非零复数的逆就是其倒数，因为复数乘法是交换的），得到：
$$g(w) - g(p) = S_f(g(w))^{-1}(w - p)$$

令 $S_g(w) = S_f(g(w))^{-1}$，上式就变成了：
$$g(w) = g(p) + S_g(w)(w - p)$$

接下来验证 $S_g$ 在 $p$ 处连续：

• $g$ 在 $p$ 处连续（题目给定逆函数连续），$S_f$ 在 $q=g(p)$ 处连续，所以复合函数 $S_f \circ g$ 在 $p$ 处连续；
• 非零复数的倒数函数 $h(x)=x^{-1}$ 是连续的，因此复合函数 $h \circ (S_f \circ g) = S_g$ 在 $p$ 处连续。

这完全符合复可微的定义，所以 $g$ 在 $p$ 处复可微。

再看导数：根据复可微定义，$g'(p) = S_g(p)$，而 $S_g(p) = S_f(g(p))^{-1} = \frac{1}{f'(g(p))}$（因为 $f'(g(p))=S_f(g(p))$），这就证明了导数公式。

问题1的补充说明 #

对应逆函数 $g$ 的 $S_g$ 函数不是直接取 $f$ 的 $S_f$ 的倒数，而是 $S_f$ 与 $g$ 复合之后再取倒数，也就是 $S_g(w) = [S_f(g(w))]^{-1}$。只有当 $w=p$ 时，$S_g(p) = [S_f(g(p))]^{-1} = \frac{1}{f'(g(p))}$，但对于其他点 $w$，$S_g(w)$ 依赖于 $g(w)$ 处的 $S_f$ 值，不是简单的全局倒数关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emptymind