证明正整数n的4k+1型除数数量不少于4k+3型除数数量的方法问询

Hey 各位数论大佬，我最近卡在了一个问题上：给定正整数$n$，怎么证明它的4k+1型除数数量至少和4k+3型除数数量一样多呢？（这里$k$是自然数）

我自己先尝试了数学归纳法的思路：假设这个结论对某个正整数$m$成立，然后想证明对所有$mp$（$p$是质数）也成立，但走着走着就卡壳了——实在没法把$m$的除数和$mp$的除数的类型数量关联起来。

不过我注意到一个关于模4乘积的规律，感觉可能是解题关键：

• 两个4k+1型的数相乘，结果还是4k+1型
• 两个4k+3型的数相乘，结果也是4k+1型
• 一个4k+1型和一个4k+3型的数相乘，结果是4k+3型

但我还没搞明白怎么把这个规律和除数数量的比较结合起来，有没有大佬能给点思路或者指点一下证明方向呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Natrium