实数集上连续函数向开集的局部延拓问题

嘿，咱们来深入聊聊这个实数集上的连续函数局部延拓问题：

假设$X\subset\mathbb R$是实数集的一个子集，$f:X\to\mathbb R$是定义在$X$上的连续函数。我们能不能总是找到一个$\mathbb R$中的开子集$U$，以及一个定义在$U$上的连续函数$g:U\to\mathbb R$，使得$f$和$g$在$X\cap U$上完全一致（也就是$f|{X\cap U} = g|{X\cap U}$）？另外，要是把$X$的基数限制为$\aleph_0:=|\mathbb N|$（可数集的大小）或者$\mathfrak c:=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|$（和实数集等势），答案会有变化吗？

其实有两种很直观的场景，答案显然是肯定的：

• 当$X$在$\mathbb R$中不是稠密的时候：这时候存在某个开区间和$X$完全不相交，或者说我们能轻松找到一个包含$X$中部分点的开集，在这个开集上直接延拓$f$就行
• 当$X$本身包含$\mathbb R$的一个开子集的时候：那直接取这个开子集作为$U$，$g$就取$f$在这个开子集上的限制，自然满足延拓的要求

但如果是其他场景，问题就没这么简单了，比如当$X$是全体无理数$\mathbb R\setminus\mathbb Q$的时候，这个延拓问题就需要仔细琢磨，没有直观的答案。

这里要特别注意，这个问题和“找一个在$\mathbb R\setminus\mathbb Q$上连续、在$\mathbb Q$上不连续的函数”完全不是一回事——比如经典的托梅函数（Thomae's function），它在无理数集上的限制是零函数，而零函数显然可以直接连续延拓到整个$\mathbb R$上，这和我们现在讨论的局部延拓问题本质不同，别搞混了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alma Arjuna