关于将函数f₂(x)改写为单比例变量形式的技术咨询

嘿，我刚好折腾过类似的代数变形问题，咱们一步步来拆解你的$f_2(x)$改写思路，其实和你处理$f_1(x)$的逻辑是相通的！

首先先回顾下你提到的两个函数：
$$
f_1(x)=\frac{a}{ax+b}
\f_2(x)=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a+b}}{ax+b}
$$

你已经把$f_1(x)$成功改写成了只用比例变量$c=\frac{a}{b}$的形式：
$$f_1(x)=\frac{c}{cx+1}$$

那咱们用同样的思路来处理$f_2(x)$：

1. 先处理分母：把$ax+b$提取出$b$，得到$b\left(\frac{a}{b}x + 1\right)$，也就是$b(cx + 1)$（这里$c=\frac{a}{b}$和你之前的定义完全一致）。
2. 把分母代入$f_2(x)$，式子变成：
   $$f_2(x)=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a+b}}{b(cx + 1)}$$
3. 接下来化简分子：因为$a=bc$，把$\sqrt{a}$替换成$\sqrt{bc}$，分子就变成$\sqrt{bc}\cdot\sqrt{bc + b}$，进一步整理：
   $$\sqrt{bc}\cdot\sqrt{b(c+1)} = \sqrt{b^2 c(c+1)} = b\sqrt{c(c+1)}$$
4. 把化简后的分子代回去，$b$和分母的$b$约掉，就得到了和$f_1(x)$结构一致的形式：
   $$f_2(x)=\frac{\sqrt{c(c+1)}}{cx + 1}$$

咱们可以验证下这个变形是否正确：把$c=\frac{a}{b}$代回这个式子，分子$\sqrt{c(c+1)}=\sqrt{\frac{a}{b}\left(\frac{a}{b}+1\right)}=\frac{\sqrt{a(a+b)}}{b}$，分母$cx+1=\frac{ax+b}{b}$，两者相除后刚好等于$\frac{\sqrt{a}\sqrt{a+b}}{ax+b}$，和原式完全一致，说明变形没问题！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Xavier